苏科版八年级上册数学专题2.1等腰（直角）三角形中的分类讨论问题含解析答案

专题2.1�等腰（直角）三角形中的分类讨论问题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（  ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ）

A．2个 B．4个 C．5个 D．7个

3．如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

4．如图，在中，，在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

5．在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有        个．

6．在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为       ．

7．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为    ．

8．规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为      ．

9．如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为   ．

10．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为        ．

11．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为        ．

12．在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，在中，，，若过顶点的一条直线交于点，且，则直线是的关于点的二分割线．如图，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线，则的度数为      ．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是         ．

14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为   ．

15．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当         s时，是等腰三角形；当         s时，是直角三角形．

16．如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是       秒时，△ABC是直角三角形．

17．如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有          个．

18．在直角坐标系中，O为原点，已知A（1，1），在坐标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有     个．

19．如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为      ．

20．如图，在中，，点在边上．连接，将沿直线翻折，点落在点处，交边于点．已知，，若为直角三角形，则的面积为      ．

21．如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点 B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间 t是       秒时，△ABC是直角三角形．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．设运动时间为t，则当t=      秒时，△BPC为直角三角形．

23．如图，是边长为的正三角形，动点从向以匀速运动，同时动点从向以匀速运动，当点到达点时，两点停止运动，设点的运动时间为秒，则当          时，为直角三角形．

24．如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，．

(1)求A，B两点的坐标；

(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；

(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．

25．如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒．

(1)出发2秒后，求CP的长．

(2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长．

(3)当t为何值时，为等腰三角形？

26．如图，已知等边ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．

（1）当时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；

（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？

27．点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．

（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；

（2）连接PQ．

①当△BPQ为等边三角形时，t＝　 　秒；

②当△BPQ为直角三角形时，t＝　 　秒．（直接写出结果）

参考答案：

1．C

【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．

【详解】解：如图，，

当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0），

当AP2＝OP2时，P2（1，0），

当AO＝AP4时，P4（2，0），

故符合条件的点有4个．

故选：C．

【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．

2．C

【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．

【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件；

②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件；

③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点

∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．

∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，

故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．

3．A

【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．

【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．

则符合条件的点共有5个，

故选：A．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．

4．D

【分析】分别以A为顶点、B为顶点、P为顶点讨论即可．

【详解】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；

第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；

第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；

第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；

第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB；

第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；

∴符合条件的点P有6个点．

故选D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．

5．7

【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

【详解】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．

①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；

②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，

③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．

④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，

⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，

⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；

⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．

⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．

⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

6．

【分析】根据题意作出图形，分类讨论，根据三角形全等的性质与判定即可求得点的坐标

【详解】解：如图，

当为直角顶点时，则,

作轴，

又

,

同理可得

根据三线合一可得是的中点，则

综上所述，点C的坐标为

故答案为：

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．

7．或或．

【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．

【详解】解：①如图，当时，

是等腰直角三角形，

,，

；

②如图，当时，过点作，交的延长线于点，

，，是等腰直角三角形，

，，

又，

是等腰直角三角形，

，

在中，，

，

在中，，

在中，；

③如图，当时，

，是等腰直角三角形，

，

在中，，

在中，．

综上所述，的长为：或或．

故答案为：或或．

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

8．或或

【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．

【详解】①BC为腰，

∵AD⊥BC于点D，，

∴∠ACD=30°，

如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°；

如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，

AD在△ABC外部时，底角∠B==15°；

②BC为底，如图3，

∵AD⊥BC于点D，，

∴AD=BD=CD，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴底角∠B=45°，

综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或．

故答案为：或或．

【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

9．7.5°或75°或97.5°或120°

【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；

②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；

③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．

【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，

∵△CPQ为等腰三角形，

∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，

①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，

∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，

∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，

∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，

∴∠CQP=22.5°，

∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，

∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，

∴α=7.5°；

如图2，

∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，

∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，

∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，

∴∠E′=60°，

∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，

∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；

②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，

∴∠CPQ=90°，如图3，

∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，

∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，

∴α=90°-15°=75°；

③如图4，

当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，

∴∠CQP=90°，

∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，

∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，

∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；

综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．

故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．

10．（0，0），（，0），（﹣2，0）

【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．

【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，

∴P、A、B三点不能构成三角形．

设点P的坐标为（m，0）．

当△PAC为直角三角形时，

①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；

②∠ACP＝90°时，如图，

∵∠ACP＝90°

∴AC2＋PC2＝AP2，

，

解得，m＝，

∴点P的坐标为（，0）；

当△PBC为直角三角形时，

①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；

②∠BCP＝90°时，

∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，

∴PO＝BO＝2，

∴点P的坐标为（﹣2，0）．

综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．

11．45°或135°

【分析】分四种情况：若点D、E在线段BC上时；若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时讨论，即可求解．

【详解】解：如图，若点D、E在线段BC上时，

∵AB=DB，AC=EC，

∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC，

∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B，

∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，

∴2∠DAE=∠B+∠C，

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°，

∴∠DAE=45°；

如图，若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时，

∵AC=EC，

∴可设∠E=∠CAE =x，

∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，

∵∠BAC=90°，

∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，

∵AB=DB，

∴ ，

∵∠ADB=∠DAE+∠E，

∴∠DAE=45°；

如图，若点D在CB的延长线上，点E在BC的延长线上时，

∵AC=EC，

∴∠E=∠CAE，

∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，

∵AB=DB，

∴∠D=∠BAD，

∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠ACB=90°，

∴2∠CAE+2∠BAD=90°，

∴∠CAE+∠BAD=45°，

∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；

如图，若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时，

∵AB=DB，

∴可设∠D=∠BAD=y，

∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，

∴∠ABC=2y，

∵∠BAC=90°，

∴∠C=90°-2y，

∵AC=EC，

∴∠AEC=∠CAE= ，

∵∠AEC=∠D+∠DAE，

∴∠DAE=45°

综上所述，∠DAE的度数为45°或135°．

故答案为：45°或135°

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．

12．或或

【分析】根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论．

【详解】解：如图2所示：，

如图3所示：，

如图所示：，

故答案为：或或．

【点睛】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“△ABC的关于点B的二分割线”是解题的关键．

13．4或3

【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．

【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，

∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，

∴AP=A′P，

∴∠PAA′=∠AA′P，

∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，

∴∠PCA′=∠PA′C，

∴PC=PA′，

∴PC=AC=4，

如图2，当∠ACA′=90°时，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．

∴AB=10，

∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，

∴A′B=AB=10，PA=PA′，

∴A′C=4，

设PC=x，

∴AP=8-x，

∵A′C2+PC2=PA′2，

∴42+x2=（8-x）2，

解得：x=3，

∴PC=3，

综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，

故答案为：4或3．

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

14．3或3或3．

【分析】利用分类讨论，当时，如图2，由对顶角的性质可得，易得，易得的长，利用勾股定理可得的长；当时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，易得为等边三角形，利用锐角三角函数可得的长；易得，利用勾股定理可得的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．

【详解】解：当时，如图1，

，

，

，

，

为等边三角形，

，

；

当时，如图2，

，

，

，

在直角三角形中，

；

，，如图3，

，

，

为等边三角形，

，

故答案为3或或．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．

15．     或5     4或10

【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．

【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，

，，

当时，，

解得；

如图，当时，是等腰三角形，

，，

当时，，

解得；

如图，当时，是直角三角形，且，

，，

当时，，

解得；

如图，当时，是直角三角形，且，

，，

当时，，

解得：t=10．

故答案为：或5；4或10．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．

16．3或12/12或3

【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．

【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，

∵∠MAN＝60°，

∴∠ABC＝30°，

∴AC=，

∴运动时间 t=秒，

当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，

∵∠MAN＝60°，

∴∠ACB＝30°，

∴AC=，

∴运动时间 t=秒，

当运动时间 t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．

故答案为：3或12

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．

17．6

【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①AB = AM；②BM = BA；③MA = MB．

【详解】如图，

①以A为圆心，AB为半径画圆，

交x轴有一点，交y轴有两点，

此时AB = AM，

为等腰三角形；

②以B为圆心，BA为半径画圆，

交直线x轴有两点，交y轴有一点，

此时BM = BA，

为等腰三角形；

③作AB的垂直平分线交y轴于点，交x轴于点，

此时MA = MB，

为等腰三角形，

是等边三角形，故重合

符合条件的点有6个，

故答案为：6．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．

18．8

【分析】等腰三角形要判断腰长的情况，本题可先设P点的坐标，根据OA是底边、腰几种情况下手进行讨论即可得出答案．

【详解】已知△AOP的边OA，这条边可能是底边也可能是腰

当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与x轴，y轴的交点，这两个点的坐标是（1，0）和（0，1）满足条件的有两点；

当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与两坐标轴的交点坐标是（0，），（0，﹣），（，0），（﹣，0）；

当A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与两坐标轴的交点坐标有除原点以外有两个交点，因而使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有8个．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；分情况进行讨论，能够把各种情况能够讨论全是解决本题的关键．

19．或

【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：①若与AB交于点F，连接，易得，即可得到，，从而得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；②若与BC交于点G，连接，交EP于H，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，进而可求解．

【详解】解：，为斜边AB的中点，

∴AB=8，，，

①若与AB交于点F，连接，如图1所示，

由折叠可得，，，

∵点E是AB的中点，

∴，

由题意得，

，

，

，，

∴四边形是平行四边形，

，

②若与BC交于点G，连接，交EP于H，如图2所示，

同理可得，，

，

，

，

∴点P与点C重合，

∴，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．

20．或

【分析】分类讨论当时和当时，再根据翻折的性质结合勾股定理即可解答．

【详解】分类讨论：①如图，当时，

∵，，，

∴，．

由翻折的性质可知，，，

∴，

设，则，

∴，，

∴．

∵在Rt中，，

∴，

解得：（舍）．

∴，

∴；

②如图，当时，此时F点与C点重合，

∵，，

∴．

设，则，

∵在Rt中，，

∴，

解得：，

∴，

∴．

综上可知的面积为或．

故答案为：或.

【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用．利用分类讨论的思想是解题关键．

21．3或12/12或3

【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．

【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，

∵∠MAN＝60°，

∴∠ABC＝30°，

∴AC=，

∴运动时间 t=秒，

当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，

∵∠MAN＝60°，

∴∠ACB＝30°，

∴AC=，

∴运动时间 t=秒，

当运动时间 t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．

故答案为：3或12

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．

22．2.5或1.6

【分析】分两种情况讨论：①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，根据勾股定理即可求得跑PB，进而得到t；②当∠BPC为直角时，利用三角形面积即可求解PC，然后根据勾股定理即可求解BP，进而求得t．

【详解】∵∠C＝90°，BC=4cm，AC=3cm，，

∴在，．

①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，

∴t＝5÷2＝2.5s．

②∠BPC为直角时，

在Rt△ABC中，，

即，解得

在Rt△BPC中，

∴t＝3.2÷2＝1.6s．

综上，当t＝2.5s或1.6s时，△BPC为直角三角形．

故答案为：2.5或1.6．

【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握以及勾股定理是解题的关键．

23．3或4.8

【分析】分两种情况：①当时，；②当时，根据列方程求出t的值即可．

【详解】①当时，

∵是正三角形

∴

∴

∴在中，，即，解得

②当时，

∵是正三角形

∴

∴

∴在中，，即，解得

即当或时，为直角三角形

故答案为：3或4.8．

【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握正三角形的性质、特殊三角函数值、解一元一次方程的方法是解题的关键．

24．(1)A（0，6），B（8，0）；

(2)AB=10；

(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．

【分析】（1）由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；

（2）根据求解可得；

（3）先设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得．

【详解】（1）

则A点的坐标为A（0，6），B点的坐标为（8，0）

（2），

（3）存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形

设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得

①若PA=AB，则，即，

解得a=8(舍)或a=−8，

此时点P(−8，0)；

②若AB=PB，即，即

解得a=18或a=−2，

此时点P(18，0)或(−2，0)；

综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．

【点睛】本题考查了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键．

25．(1)PC =

(2)出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长

(3)t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形

【分析】（1）勾股定理求得的长，进而根据速度求得出发2秒后的长，中勾股定理求解即可；

（2）由于CP恰好平分的周长，则P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；

（3）①当P在AB上时，若BP＝BC时，②当P在AC上时，若BP＝BC时，③当P在AC上时，若CB＝CP时，④当P在AB上时，若PC＝PB时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可

【详解】（1）由∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，

∴AB＝8，

∵P从点B开始，按B→A→C→B，且速度为2，

∴出发2秒后，则BP＝4，AP＝6，

∵∠B＝90°，

∴在中，由勾股定理得PC＝ ；

（2）P点不可能位于线段BC和AC上，即对P点在线段AB上进行探究，

根据题意可得，

6＋2t＝10＋8－2t ；

解得t＝3

出发3秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长

（3）①当P在AB上时，若BP＝BC时，得到2t＝6；则t＝3，

②当P在AC上时，若BP＝BC时，过点作，则

在中，

在中，

即

解得

③当P在AC上时，若CB＝CP时，

即

解得

④当P在AC上时，若PC＝PB时，

得到2t＝6；

则t＝6.5．

综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．

【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．

26．（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由见解析；（2）当t的值为或4时，PBQ为直角三角形．

【分析】（1）当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，结合已知条件可得点Q为BC的中点，再根据等腰三角形的三线合一即可证得AQ⊥BC；

（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，然后分两种情况讨论即可：当∠PQB＝90°时，当∠BPQ＝90°时．

【详解】解：（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由如下：

由题意可得：当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，

∵等边ABC的边长为8，

∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，

∴CQ＝BC－BQ＝4＝BQ，

∴点Q为BC的中点，

又∵AB＝AC，

∴AQ⊥BC，

∴当t＝2时，AQ⊥BC；

（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，

当∠PQB＝90°时，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BPQ＝90°－∠ABC＝30°，

∴PB＝2BQ，

∴8﹣t＝2×2t，

解得：t＝；

当∠BPQ＝90°时，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BQP＝90°－∠ABC＝30°，

∴BQ＝2BP，

∴2t＝2（8﹣t），

解得：t＝4；

∴当t的值为或4时，PBQ为直角三角形．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．

27．（1）∠CMQ 理由见解析；（2）①2；②或

【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°；

（2）①由△BPQ为等边三角形，可得 再建立方程求解即可；②当△BPQ为直角三角形时，分两种情况讨论，当 而 则 当时，则 再利用含的直角三角形的性质列方程求解即可.

【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，

∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

∴AP=BQ，

在△APC和△BQA中

，

∴△APC≌△BQA（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，

∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；

（2）① △BPQ为等边三角形，

由题意得：

解得：

所以当△BPQ为等边三角形时，则s

②当△BPQ为直角三角形时，

当 而 则

解得：

当时，则

解得：

综上：当s或s时，△BPQ为直角三角形.

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握“利用图形的性质得到边与边之间的关系，再建立方程求解”是解题的关键.