专题1.29 全等三角形几何模型-旋转模型（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题1.29 全等三角形几何模型-旋转模型（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共47页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.29 全等三角形几何模型-旋转模型（专项练习）
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（　　）

A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°
3．将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（       ）.

A．2 B．3 C．6 D．8
4．如图，，与的平分线相交于点，于点，为中点，于，．下列说法正确的是(　　)
①；②；③；④若，则．

A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是边BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③四边形AEPF的面积=△ABC的面积的一半，④当EF最短时，EF=AP，上述结论始终正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（          ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
7．如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．

8．如图，折线AB﹣BC中，AB＝3，BC＝5，将折线AB﹣BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD﹣DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC＝_________________．

9．如图，和都是等腰直角三角形，，，则___________度．

10．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0α90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC的面积为____．

11．如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是______．

12．如图，在中，分别以、为边向外作正方形、，连接、、、，若，则四边形的面积__________．

13．如图，在四边形中，于，则的长为__________

三、解答题
14．如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）

15．如图，等腰三角形中，，．作于点，将线段绕着点顺时针旋转角后得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）延长线段，交线段于点．求的度数（用含有的式子表示） ．





16．在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．
（1）如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系是______；
②线段、、之间的数量关系是______．
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．





17．（1）如图1所示，，都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．
（2）若绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．




18．如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．




19．（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．
              





20． 如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC
（1）试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．






21．（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为　 　°；
②线段AD、BE之间的数量关系是　 　．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．







22．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；

（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ．



























参考答案
1．C
【分析】
根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴△AOE的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；
故选C．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
2．D
【分析】
根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证△ACD≌△BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，则可计算出∠BEF的度数．
解：由旋转性质可得： CD＝CE，∠DCE＝90°．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°．
∴∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD≌△BCE．
∴∠CBE＝∠A＝45°．
∵AD＝BF，
∴BE＝BF．
∴∠BEF＝∠BFE＝ 67.5°．
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．
3．B
【分析】
如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答.
解：如图，

连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，
则，，
，
，
≌，
四边形AENF的面积等于的面积，
而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为．
故选B．
【点拨】本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的．
4．C
【分析】
根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到从而根据三角形的内角和定理得到，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知，再由角平分线的定义与等量代换可知，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出的度数，再求出，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．
解：①中，∵AB∥CD，
∴，
∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，
∴，
∵，
∴
∴AG⊥CG，
则①正确；
②中，由①得AG⊥CG，
∵，，
∴根据等角的余角相等得，
∵AG平分，
∴，
∴，
则②正确；
③中，根据三角形的面积公式，∵为中点，∴AF=CF，∵与等底等高，∴，则③正确；
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，，
又∵，
∴，
∵CG平分∠ECH，
∴，
根据直角三角形的两个锐角互余，得.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则④错误.
故正确的有①②③，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.
5．D
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根据等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角边角”证明△AEP和△CPF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面积相等求出S四边形AEPF=S△APC，然后解答即可．
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．
∵点P为BC的中点，∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP．
∵∠EPF是直角，∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF．
在△AEP和△CPF中，∵，∴△AEP≌△CPF（ASA），∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，∴S四边形AEPF=S△APC，∴S四边形AEPF=S△ABC，根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，此时，EF最短；故①②③④正确．
故选D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．
6．D
【分析】
证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确．
解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC与AG所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，

∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
故③正确，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴EF=EG．
故④正确．
故选：D．
【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．，，．
【分析】
通过旋转至，可得 是等边三角形，将 放在一个三角形中，进而求出各角大小。
解：将逆时针旋转，得到，

∵，是等边三角形，且旋转角相等，则,
∴是等边三角形. 则
又∵ ∴
故以线段三边构成的三角形为
所以


故答案为： .
【点拨】此题旨在考查图形旋转的特性和实际应用，以及等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转的应用是解题的关键.
8．##
【分析】
连接AC，AE，过点A作AF⊥BC于F，作AH⊥EC于H，可证四边形AFCH是矩形，可得AF＝CH，由旋转的性质可得AD＝AB＝3，BC＝DE＝5，∠ABC＝∠ADE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得AC＝AE，由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF＝，AF＝，由三角函数可求解．
解：如图，连接AC，AE，过点A作AF⊥BC于F，作AH⊥EC于H，

∵CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC，
∴四边形AFCH是矩形，
∴AF＝CH，
∵将折线AB﹣BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD﹣DE，
∴AD＝AB＝3，BC＝DE＝5，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AC＝AE，
∵AC＝AE，AB＝AD，AF⊥BC，AH⊥EC，
∴BF＝DF，CH＝EH，
∵AB2＝AF2＋BF2，DE2＝DC2＋CE2，
∴9＝AF2＋BF2，25＝（5﹣2BF）2＋4AF2，
∴BF＝，AF＝，
∴EC＝2CH＝2AF＝，CD＝5﹣2×＝，
∴tan∠EDC＝＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BF，AF的长是本题的关键．
9．132
【分析】
先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．
解：∵，∴，
在和中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴，
∴．
故答案为132
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
10．30
【分析】
设AO与BC的交点为点G，根据等腰直角三角形的性质证△AOC≌△BOD，进而得出△ABC是直角三角形，设AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再计算△ABC的面积即可．
解：设AO与BC的交点为点G，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
∵∠DBO＋∠OGB＝90°，
∵∠OGB＝∠AGC，
∴∠CAO＋∠AGC＝90°，
∴∠ACG＝90°，
∴CG⊥AC，
设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，
∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2＋BC2＝AB2，
,
解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，
在直角三角形ABC中，S= ，
故答案为：30．
【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
11．19．
解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE
∴△BDC≌△BAE
∴BE=BD，∠DBE=60°，AE=CD
∴△DBE是等边三角形
∴DE=BD=9
∴△AED的周长=DE+AD+AE=DE+AC=19
故答案为：19
12．18
【分析】
根据四边形ABFG、BCED是正方形得到两对边相等，一对直角相等，根据图形利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS即可得到△ABD≌△FBC；得到AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，利用等式的性质及垂直定义得到AD与CF垂直，由四边形AFDC面积＝△ACD面积+△AFD面积，求出即可．
解：连接FD，设CF与AD交于点M，CF与AB交于点N，如图：

∵四边形ABFG、BCED是正方形，
∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，
即∠ABD＝∠CBF，
在△ABD和△FBC中，
，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；
∴AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，
∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC+∠BNF)＝180°﹣90°＝90°，
∴AD⊥CF，
∵AD＝6，
∴FC＝AD＝6，
四边形ACDF的面积



．
故答案为：18．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形、四边形的面积，以及三角形的三边关系，属于多知识点的四边形综合题．能求出 并证明AD⊥CF是解此题的关键．
13．
【分析】
过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题；
解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，
∵，


，


∴≌
，
，
，
即，
，
故答案为．

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．（1）证明见分析；（2）BE＝AD，理由见分析．
【分析】
（1）证出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出结论；
（2）图2、图3、图4同样证出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出结论．
解：（1）证明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：图2、图3、图4中，BE＝AD，以图2为例，理由如下：
∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
【点拨】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
15．（1）见分析；（2）
【分析】
（1）根据“边角边”证，得到即可；
（2）由（1）得，，再根据三角形内角和证明即可．
解： 线段绕点顺时针旋转角得到线段，

，．
，
．
在与中，



．

（2）解： ，
，
又，
，
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解题关键是熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．
16．（1）①垂直；②；（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明见分析；
【分析】
（1）①先求证，得到，从而求得，即可求解；②根据①中的全等三角形，得到，从而求得；
（2）先求证，得到，，从而求得，
解：（1）∵，
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴，
①∴，∴
②∴
（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明如下：
∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴，
∴
∴
又∵
∴
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法及有关性质是解题的关键．
17．（1）AE=BD，AE⊥BD，见分析；（2）结论还成立，见分析
【分析】
（1）根据SAS推出ACE≌BCD，根据全等三角形的性质得出AE=BD，∠CAE＝∠DBC，根据∠ACB＝90求出∠CAE+∠AEC＝90，求出∠DBC+∠BEF＝90，根据三角形内角和定理求出∠BFE＝90°即可；
（2）根据SAS推出ACE≌BCD，根据全等三角形的性质得出AE=BD，∠CAE＝∠DBC，根据∠ACB＝90求出∠CAE+∠AOC＝90°，求出∠DBC+∠BOE＝90，根据三角形内角和定理求出∠BFO＝90即可．
解：（1）AE=BD，AE⊥BD．
∵，都是等腰三角形，
∴AC=BC,CE=CD，
在ACE和BCD中

∴ACE≌BCD（SAS），
∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，
∵∠ACB＝90，
∴∠CAE+∠AEC＝90，
∵∠CAE＝∠DBC，∠AEC＝∠BEF，
∴∠DBC+∠BEF＝90，
∴∠BFE＝180﹣90＝90，
∴AE⊥BD；
（2）解：结论还成立，
理由是：∵∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在ACE和BCD中

∴ACE≌BCD（SAS），
∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，
∵∠ACB＝90，
∴∠CAE+∠AOC＝90，
∵∠CAE＝∠DBC，∠AOC＝∠BOE，
∴∠DBC+∠BOE＝90，
∴∠BFO＝180﹣90＝90，
∴AE⊥BD．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定综合应用，以及等腰三角形性质、内角和定理，解此题的关键是通过全等得到对应边、对应角相等．
18．（1）， ；（2）是等腰直角三角形，理由见分析；（3）98
【分析】
（1）根据题意可证得，利用三角形的中位线定理得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出，得出，通过角的转换得出与互余，证得．
（2）先证明，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论．
（3）当最大时，的面积最大，而最大值是，，计算得出结论．
解：（1）线段PM与PN的数量关系是，位置关系是．
∵等腰中，，
∴AB=AC，
∵AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，
∴BD=CE，
∵点，，分别为，，的中点，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵（两直线平行内错角相等），
∴，
∴．
（2）是等腰直角三角形．
证明：由旋转可知，，
，，
∴，
∴，，
根据三角形的中位线定理可得，，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法可得，，
∴，
同（1）的方法得，，
，
∵，
∴

，
∵，∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，
∴最大时，面积最大，
∵点在的延长线上，BD最大，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键．
19．（1）正确，理由见分析；（2）证明见分析；（3）成立，理由见分析
【分析】
（1）连接DM并延长，作BN⊥AB，与DM的延长线交于N，连接CN，先证明△EMD≌△BMN，得到BN=DE=DA，再证明△CAD≌△CNB，得到CD=CN，证明△DCM是等腰直角三角形即可；
（2）探究一：延长DM交BC于N，根据平行线的性质和判定推出∠DEM=∠MBC，根据ASA推出△EMD≌△BMN，证出BN=AD，证明△CMD为等腰直角三角形即可；
探究二：作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，根据平行线的性质求出∠E=∠NBM，根据ASA证△DCA≌△NCB，推出△DCN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△CMD为等腰直角三角形．
解：（1）如图一，连接DM并延长，作BN⊥AB，与DM的延长线交于N，连接CN，

∵∠EDA=∠ABN=90°，
∴DE∥BN，
∴∠DEM=∠MBN，
∵在△EMD和△BMN中，
，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
在△CAD和△CNB中，
，
∴△CAD≌△CNB，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DN，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴DM=CM；
（2）探究一，
理由：如图二，连接DM并延长DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MBC，
∵在△EMD和△BMN中，
，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD
∵AC=BC，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠BCM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DM=CM；
探究二，
理由：如图三，连接DM，过点B作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，
∴∠E=∠MBN=45°．
∵点M是BE的中点，
∴EM=BM．
∵在△EMD和△BMN中，

∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠DAC=∠NBC=90°
∵在△DCA和△NCB中
，
∴△DCA≌△NCB（SAS），
∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠CDM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DM=CM

【点拨】本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大．
20．（1）BD=DC+CE，见分析；（2）BD2+CD2=2AD2，见分析
【分析】
（1）通过SAS证明△ABD≌△ACE，得CE=BD，即可得出结论；
（2）连接CE，同理证明△ABD≌△ACE，得CE=BD，∠ACE=∠B，则∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，得CD2+CE2=DE2，进行转化即可．
解：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD，
∴BC=CD+BD=CD+CE；
故答案为：BC=CD+CE．
（2）CD2+BD2=2AD2，理由如下：
连接CE，

∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴DE=AD，即DE2=2AD2，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，
∴CD2+CE2=DE2，
∴CD2+BD2=2AD2．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
21．（1）①60；②AD＝BE；（2）a2＋b2＝c2；（3）60°或120°
【分析】
（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；
（2）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，由勾股定理可求解；
（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°．
解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，
故答案为：60；
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，
∴AD2+AE2=AB2，
∵AD=a，AE=b，AB=c，
∴a2+b2=c2；
（3）如图3，

由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAB=∠CBA=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°，
∴∠AOE=180°-120°=60°，
如图4，

同理求得∠AOB=60°，
∴∠AOE=120°，
∴∠AOE的度数是60°或120°．
【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（1）证明见分析；（2）．证明见分析；（3）．
【分析】
（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；
（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；
（3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长．
解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，
则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，
∴点Q在直线CA上，

∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，
，
∴△MND≌△QND（SAS），
∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，
∴BM+AN=MN；
（2）：.
理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，
则DN=DP，AN=BP，

∵∠DAN=∠DBP=90°，
∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，
，
∴△MND≌△MPD（SAS），
∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，
∴MN+AN=BM；
（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，

∵△ABC是等边三角形，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM=MG=BG，
根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，
根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，
∴∠MND=∠MHN，
∴MN=MH，
∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，
即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，
，
∴△ANE≌△GHE（AAS），
∴AE=EG=2.1，
∵AC=7，
∴AB=AC=7，
∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，
∴BM=BG=2.8．
故答案为：2.8
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点．