初中数学苏科版八年级上册4.3 实数优秀课后复习题

专题12 实数的运算（综合题）

知识点：实数的运算

数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

一．选择题

1．（2022秋•新郑市校级月考）下列运算正确的是（　　）

A．＝﹣6 B．＝±3 C．＝ D．﹣＝3

【易错思路引导】根据算术平方根、立方根的含义和求法，以及有理数的减法的运算方法，逐项判断即可．

【规范解答】解：∵＝6，

∴选项A不符合题意；

∵＝3，

∴选项B不符合题意；

∵＝1，＝﹣1，

∴≠，

∴选项C不符合题意；

∵﹣＝8﹣5＝3，

∴选项D符合题意．

故选：D．

【考察注意点】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确算术平方根、立方根的含义和求法．

2．（2022•南京模拟）计算的结果是（　　）

A．0 B．16 C．12 D．4

【易错思路引导】先分别计算算术平方根与立方根，再合并即可．

【规范解答】解：

＝8﹣（﹣4）

＝8+4

＝12，

故选：C．

【考察注意点】本题考查了实数的运算，掌握“求解一个数的算术平方根与立方根”是解本题的关键．

3．（2022•夏邑县模拟）下列运算正确的是（　　）

A．2÷（﹣6）﹣1＝﹣3 B．﹣3×20220＝﹣3 

C． D．

【易错思路引导】各式计算得到结果，即可作出判断．

【规范解答】解：A、原式＝2÷（﹣）＝2×（﹣6）＝﹣12，不符合题意；

B、原式＝﹣3×1＝﹣3，符合题意；

C、原式＝3﹣2＝，不符合题意；

D、原式＝﹣3，不符合题意．

故选：B．

【考察注意点】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（2022秋•高新区校级月考）下列说法正确的是（　　）

A．平方根等于本身的数是0，1 

B．立方根等于本身的数是﹣1，0，1 

C．两个无理数的和一定是无理数 

D．是负分数

【易错思路引导】根据平方根，立方根，无理数的意义，逐一判断即可解答．

【规范解答】解：A、平方根等于本身的数是0，故A不符合题意；

B、立方根等于本身的数是﹣1，0，1，故B符合题意；

C、两个无理数的和不一定是无理数，故C不符合题意；

D、﹣是无理数，不是负分数，故D不符合题意；

故选：B．

【考察注意点】本题考查了实数的运算，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．

5．（2021秋•青神县期末）已知a1为实数，规定运算：，，，，…，an＝1﹣．按上述方法计算：当a1＝3时，a2022的值等于（　　）

A． B． C． D．

【易错思路引导】把a1＝3代入进行计算，找出规律即可解答．

【规范解答】解：a1＝3，

a2＝1﹣＝1﹣＝，

a3＝1﹣＝1﹣＝，

a4＝1﹣＝1﹣＝3，

..．

∴2022÷3＝674，

∴a2022＝，

故选：C．

【考察注意点】本题考查了实数的运算，规律型：数字变化类，把a1＝3代入进行计算从数字找规律是解题的关键．

二．填空题

6．（2022•成都模拟）对于任意的正数a，b，定义运算“*”如下：，计算（3*2）+（48*50）的结果为 　　．

【易错思路引导】根据题目已知的定义运算进行计算即可．

【规范解答】解：（3*2）+（48*50）

＝+﹣

＝+5﹣4

＝4﹣3，

故答案为：4﹣3．

【考察注意点】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．

7．（2020•荣昌区模拟）计算：﹣70+＝　﹣12　．

【易错思路引导】原式的第一项根据零次幂为1计算，第二项根据立方根定义计算，第三项根据负整数指数幂计算可得结果．

【规范解答】解：﹣70+，

＝﹣1﹣2﹣9，

＝﹣12．

故答案为：﹣12．

【考察注意点】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键

8．（2022•秦淮区一模）计算（）0＝　1　，2﹣1＝　　．

【易错思路引导】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．

【规范解答】解：原式＝1，原式＝，

故答案为：1；

【考察注意点】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．（2021春•长垣市校级期末）定义：对于任意实数a，b，有a*b＝a2++1，例如1*（﹣8）＝12++1＝0，则（﹣2*64）*1＝　83　．

【易错思路引导】把（﹣2*64）代入a*b＝a2++1求出其值为9，再把9*1代入a*b＝a2++1．求出其值即可．

【规范解答】解：∵﹣2*64＝（﹣2）2++1＝4+4+1＝9．

∴（﹣2*64）*1＝9*1＝92++1＝81+1+1＝83．

故答案为：83．

【考察注意点】本题考查了一种新定义运算，正确理解新定义是解题的关键．

10．（2021春•龙口市期中）已知实数a满足|2011﹣a|+＝，求a﹣20112的值为 　2012　．

【易错思路引导】根据二次根式有意义得a≥2012，所以2011﹣a＜0，去掉绝对值化简即可．

【规范解答】解：根据二次根式有意义得：a﹣2012≥0，

∴a≥2012，

∴2011﹣a＜0，

∴a﹣2011+＝a，

∴＝2011，

∴a﹣2012＝20112，

∴a＝20112+2012，

∴a﹣20112＝2012．

故答案为：2012．

【考察注意点】本题考查了实数的运算，解题的关键是根据二次根式有意义求得a的取值范围．

11．（2022春•无棣县期末）观察下列各式：

＝1+，＝1+，＝1+，……

请利用你所发现的规律，计算+++……+，其结果为 　2021　．

【易错思路引导】直接根据已知数据变化规律，进而将原式变形为1++1++1++...+1+，进行计算即可解答．

【规范解答】解：由题意得：

+++……+

＝1++1++1++...+1+

＝2021+（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）

＝2021+（1﹣）

＝2021，

故答案为：2021．

【考察注意点】本题考查了实数的运算，规律性：数字的变化类，正确将原式变形是解题的关键．

三．解答题

12．（2022春•鼓楼区校级期中）计算：

（1）+﹣×+；

（2）﹣（2﹣）2．

【易错思路引导】（1）利用二次根式的性质化简运算即可；

（2）利用立方根的意义和完全平方公式化简运算即可．

【规范解答】解：（1）原式＝4﹣+2

＝5﹣

＝5；

（2）原式＝2﹣（4﹣4+5）

＝2﹣9+4

＝﹣7+4．

【考察注意点】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根的意义和完全平方公式，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．

13．（2022秋•亭湖区校级月考）计算：++|﹣2|+（π+1）0﹣（﹣）﹣2．

【易错思路引导】先算乘方和开方，再化简绝对值，最后算加减．

【规范解答】解：原式＝3﹣2+2﹣+1﹣9

＝﹣﹣5．

【考察注意点】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零次幂、负整数指数幂的意义及绝对值的化简是解决本题的关键．

14．（2022•鼓楼区校级开学）计算：

（1）（）2+﹣﹣82；

（2）﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．

【易错思路引导】（1）先化简二次根式算乘方，再加减；

（2）先算乘方化简二次根式，再加减．

【规范解答】解：（1）原式＝9﹣4﹣17﹣64

＝9﹣85

＝﹣76；

（2）原式＝2﹣1﹣1+

＝．

【考察注意点】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂及实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．

15．（2022春•朔州月考）（1）计算：；

（2）解方程：25x2﹣36＝0；

（3）已知＝0，且与互为相反数，求yz﹣x的平方根．

【易错思路引导】（1）利用算术平方根的意义，立方根的意义，二次根式的性质和绝对值的意义解答即可；

（2）利用平方根的意义解答即可；

（3）利用非负数的意义和相反数的意义求得x，y，z的值，再将x，y，z的值代入解答即可．

【规范解答】解：（1）原式＝﹣（﹣0.5）+4﹣6

＝+0.5+4﹣6

＝﹣1；

（2）25x2﹣36＝0，

∴x2＝．

∴x是的平方根，

∴x＝．

（3）∵＝0，≥0，|y﹣2|≥0，

∴x+1＝0，y﹣2＝0．

∴x＝﹣1，y＝2．

∵与互为相反数，

∴1﹣2z+3z﹣5＝0．

解得：z＝4．

∴yz﹣x＝8﹣（﹣1）＝9．

∵9的平方根为±3，

∴yz﹣x的平方根为±3．

【考察注意点】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，立方根的意义，二次根式的性质和绝对值的意义，非负数的应用，相反数的意义，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．

16．（2021•江岸区校级自主招生）（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2．

【易错思路引导】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简进而得出答案．

【规范解答】解：（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2

＝1﹣2+3﹣5﹣2

＝﹣6+．

【考察注意点】此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．

17．（2022春•洛阳期中）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab++e2+的值．

【易错思路引导】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d，ab及e的值，代入计算即可．

【规范解答】解：由题意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±，f＝64，

∴e2＝（±）2＝2，，

∴ab++e2+＝+0+2+4＝6．

【考察注意点】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（2021春•陕州区期中）计算

（1）（﹣1）2﹣|1﹣|+

（2）+﹣﹣|﹣2|

（3）（ x﹣1）2＝4

（4）3x3＝﹣81．

【易错思路引导】（1）首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算即可．

（2）首先计算开方，然后从左向右依次计算即可．

（3）根据平方根的求法，求出x的值是多少即可．

（4）根据立方根的求法，求出x的值是多少即可．

【规范解答】解：（1）（﹣1）2﹣|1﹣|+

＝1﹣+1+3

＝5﹣

（2）+﹣﹣|﹣2|

＝+3﹣（﹣2）﹣2+

＝3+2

（3）∵（ x﹣1）2＝4，

∴x﹣1＝±2，

解得x＝3或﹣1．

（4）3x3＝﹣81

∴x3＝﹣27，

∴x＝﹣3．

【考察注意点】此题主要考查了实数的运算，以及立方根的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

19．（2019春•阜阳期中）观察下列各等式及验证过程．

＝，验证＝＝＝；

＝，验证：＝＝＝；

＝，验证：＝＝＝．

（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明．

【易错思路引导】（1）观察已知等式，将原式进行适当变形得到结果，验证即可；

（2）归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可．

【规范解答】解：（1）根据题意得：＝，

等式左边＝＝，右边＝＝，

左边＝右边，成立；

（2）归纳总结得：＝（n为正整数），

证明：等式左边＝，右边＝＝，

左边＝右边，成立．

【考察注意点】此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．

20．（2019春•阿荣旗期末）观察：＝＝＝，即＝；＝＝＝，即＝；

猜想：等于什么，并通过计算验证你的猜想．

【易错思路引导】注意观察所给例子中的最后结果和第一个被开方数之间的关系：根号外的是被减数，根号内的是减数．

【规范解答】解：＝，验证如下：

左边＝＝＝＝5＝右边．

故猜想正确．

【考察注意点】此题主要考查了实数的运算，解题关键是要求学生既会根据例子观察猜想，还要会进一步从理论上进行验证