【同步讲义】苏科版数学八年级上册：专题13 两点间的距离公式综合题 讲义（导图+易错点拨+易错题专训）

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专题13 两点间的距离公式（综合题）
易错题专训

一．选择题
1．（2022春•河西区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（　　）
A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2）
【易错思路引导】根据坐标的定义可求得y值，根据线段BC最小，确定BC⊥AC，垂足为点C，进一步求得BC的最小值和点C的坐标．
【规范解答】解：依题意可得：

∵AC∥x轴，A（﹣3，2）
∴y＝2，
根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，
点B到AC的距离最短，即
BC的最小值＝5﹣2＝3，
此时点C的坐标为（3，2），
故选：D．
【考察注意点】本题考查已知点求坐标及如何根据坐标描点，正确画图即可求解．
2．（2022春•忠县期末）当点A（x﹣1，3）到点B（﹣2，2y+5）的距离最短时，点P（x，y）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【易错思路引导】先根据两点间的距离公式得到AB＝，再利用非负数的性质得到当x+1＝0，2y+2＝0时，AB最小，求出x、y得到点P的坐标为（﹣1，﹣1），然后对各选项计算判断．
【规范解答】解：根据题意得AB＝＝，
∵（x+1）2≥0，（2y+2）2≥0，
∴当x+1＝0，2y+2＝0时，AB最小，
解得x＝﹣1，y＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣1），
∴P点在第三象限．
故选：C．
【考察注意点】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
3．（2021春•大同期末）点P（x，y）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和5，则点P的坐标为（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣5，3） C．（5，﹣3） D．（﹣3，5）
【易错思路引导】根据第四象限点的坐标符号和点P到x轴、y轴的距离可得答案．
【规范解答】解：点P（x，y）点在第四象限，且点P到x轴、y轴的距离分别为3、5，
则点P的坐标为（5，﹣3），
故选：C．
【考察注意点】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离＝纵坐标的绝对值，到y轴的距离＝横坐标的绝对值．
4．（2019秋•招远市期末）已知A，B两点的坐标是A（5，a），B（b，4），若AB平行于x轴，且AB＝3，则a+b的值为（　　）
A．﹣1 B．9 C．12 D．6或12
【易错思路引导】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出a的值，再根据A、B为不同的两点确定b的值．
【规范解答】解：∵AB∥x轴，
∴a＝4，
∵AB＝3，
∴b＝5+3＝8或b＝5﹣3＝2．
则a+b＝4+8＝12，或a+b＝2+4＝6，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了坐标与图形性质，是基础题，主要利用了平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，需熟记．
5．（2019春•东湖区校级期末）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．已知动点P（x，y），定点Q（2，1）满足d（P，Q）＝2，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个
A．4 B．6 C．8 D．10
【易错思路引导】由条件可得到|x﹣2|+|y﹣1|＝2，分四种情况：①x﹣2＝±2，y﹣1＝0，②x﹣2＝±1，y﹣1＝±1，③x﹣2＝0，y﹣1＝±2，进行讨论即可求解．
【规范解答】解：依题意有，
|x﹣2|+|y﹣1|＝2，
①x﹣2＝±2，y﹣1＝0，
解得，；
②x﹣2＝±1，y﹣1＝±1，
解得，，，；
③x﹣2＝0，y﹣1＝±2，
解得，．
故满足条件的点P有8个．
故选：C．
【考察注意点】考查了两点间的距离公式，本题为新概念题目，理解题目中所给新定义是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
6．（2017•西城区校级自主招生）代数式的最小值为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．11
【易错思路引导】先将原式可化为+，代数式的值即P（x，0）到A（0，﹣2）和B（12，3）的距离之和，显然当P为“x轴与线段AB交点”时，PA+PB＝AB最短．
【规范解答】解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），
原式可化为+，
即＝AP，＝BP，
AB＝＝13．
代数式的最小值为13．
故选：B．

【考察注意点】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
二．填空题（共6小题）
7．（2021春•汉阳区校级期中）如图，直线BC经过原点O，点A在x轴上，AD⊥BC于D，若B（m，3），C（n，﹣4），A（5，0），则AD•BC的值为 　35　．

【易错思路引导】由B，C及A得到坐标，确定出BE，CF及OA的长，三角形ABC面积＝三角形AOB面积+三角形AOC面积，三角形ABC面积＝AD与BC乘积的一半，两者相等即可求出AD与BC的乘积．
【规范解答】解：过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵B（m，3），C（n，﹣4），A（5，0），
∴BE＝3，CF＝4，OA＝5，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC＝OA•BE+OA•CF＝，
S△ABC＝AD•BC，
∴AD•BC＝，
则AD•BC＝35．
故答案为：35．

【考察注意点】此题考查了坐标与图形性质，三角形的面积求法，求出三角形ABC的面积是解本题的关键．
8．（2021秋•泗阳县期末）在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），C（m，m），D（m+1，m+1），（m为常数且m＞0），当AC+BD最小时，m＝　1　．
【易错思路引导】利用两点间的距离公式用m表示出AC、BD，利用待定系数法求出经过（2，0）和（3，﹣1）的直线解析式，进而求出m．
【规范解答】解：∵A（2，0），B（4，0），C（m，m），D（m+1，m+1），
∴AC2＝（m﹣2）2+m2，BD2＝（m+1﹣4）2+（m+1）2＝（m﹣3）2+（m+1）2，
∴AC+BD＝+，
∴AC+BD的最小值可以看作点（m，m）到（2，0）和（3，﹣1）的距离和的最小值，
此时点（m，m）在经过（2，0）和（3，﹣1）的直线上，
设经过（2，0）和（3，﹣1）的直线解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴经过（2，0）和（3，﹣1）的直线解析式为：y＝﹣x+2，
则m＝﹣m+2，
解得：m＝1，
故答案为：1．
【考察注意点】本题考查的是两点间的距离公式、待定系数法求一次函数解析式的一般步骤，掌握两点间的距离公式是解题的关键．
9．（2020秋•浦东新区校级期末）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于 　5　．
【易错思路引导】根据两点间的距离公式计算即可．
【规范解答】解：由两点间的距离公式得，AB＝＝5，
故答案为：5．
【考察注意点】本题考查两点间的距离公式，两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
10．（2021春•椒江区期末）在平面直角坐标系中，点A（4，﹣3）到原点的距离是　5　．
【易错思路引导】直接利用两点简的距离公式计算．
【规范解答】解：点A（4，﹣3）到原点的距离＝＝5．
故答案为5．
【考察注意点】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
11．（2019春•新余期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为　±5　．
【易错思路引导】设P（m，0）（m＞0），由题意：P′（m，mk），根据PP′＝5OP，构建方程即可解决问题．
【规范解答】解：设P（m，0）（m＞0），由题意：P′（m，mk），
∵PP′＝5OP，
∴|mk|＝5m，
∵m＞0，
∴|k|＝5，
∴k＝±5．
故答案为：±5．
【考察注意点】本题考查两点间的距离公式，坐标与图形的性质、“k属派生点”的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2021春•静安区校级期末）在直角坐标平面内，点A（﹣m，5）和点B（﹣m，﹣3）之间的距离为　8　．
【易错思路引导】利用两点间的距离公式计算即可求出．
【规范解答】解：∵在直角坐标平面内，点A（﹣m，5），点B（﹣m，﹣3）
∴AB＝＝8，
故答案为：8
【考察注意点】此题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解本题的关键．
三．解答题（共8小题）
13．（2021秋•泰宁县期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴，距离公式可简化成|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（3，5），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），你能断定此三角形的形状吗？说明理由．
【易错思路引导】（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）利用与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，设点A的坐标为（m，5），则点B的坐标为（m，﹣1），然后利用两点间的距离公式计算；
（3）先利用两点间的距离公式计算出AB、AC、BC，然后利用三角形的分类可判断此三角形的形状．
【规范解答】解：（1）∵A（3，5）、B（﹣2，﹣1），
∴AB＝＝；
（2）设点A的坐标为（m，5），则点B的坐标为（m，﹣1），
∴AB＝＝6；
（3）△ABC为等腰三角形．
理由如下：
∵A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），
∴AB＝＝5，BC＝＝6，AC＝＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
【考察注意点】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
14．（2020秋•大观区校级期中）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+2），B（a﹣3，4）C（b﹣4，b）三点．
（1）当AB∥x轴时，求A、B两点间的距离；
（2）当CD⊥x轴于点D，且CD＝3时，求点C的坐标．
【易错思路引导】（1）利用与x轴平行的直线上点的坐标特征得到a+2＝4，求出a得到A、B点的坐标，然后计算它们的横坐标之差得到A、B两点间的距离；
（2）利用与x轴垂直的直线上点的坐标特征得|b|＝3，解得b＝3或b＝﹣3，从而得到C点坐标．
【规范解答】解：（1）∵AB∥x轴，
∴A点和B的纵坐标相等，
即a+2＝4，解得a＝2，
∴A（﹣2，4），B（﹣1，4），
∴A、B两点间的距离为﹣1﹣（﹣2）＝1；
（2）∵当CD⊥x轴于点D，CD＝3，
∴|b|＝3，解得b＝3或b＝﹣3，
∴当b＝3时，b﹣4＝﹣1；当b＝﹣3时，b﹣4＝﹣7，
∴C点坐标为（﹣1，3）或（﹣7，﹣3）．
【考察注意点】本题考查了两点间的距离公式：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接使用两点间的距离公式．
15．（2022春•庐阳区校级期中）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积．

【易错思路引导】先利用两点间的距离计算出AB、BC、AC的长，则可计算出△ABC的周长，再利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，然后计算△ABC的面积．
【规范解答】解：∵A（0，2），B（4，0），C（6，4），
∴AB＝＝2，BC＝＝2，AC＝＝2，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2+2+2＝4+2；
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
∴△ABC的面积＝•2•2＝10．
【考察注意点】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
16．（2022秋•崇川区校级月考）已知，a，b满足|3a﹣b|+（a﹣3）2＝0．分别对应着数轴上的A，B两点．
（1）a＝　3　，b＝　9　；
（2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍；
（3）数轴上还有一点C的坐标为28，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．

【易错思路引导】（1）由题可得方程3a﹣b＝0，a﹣3＝0，求解即可；
（2）设运动时间为t秒，由题意可得3t＝2|6﹣3t|，求出t的值即可；
（3）设运动时间为t秒，分两种情况讨论：P点向C点运动时，|2t﹣6|＝4，解得t＝5或t＝1；当P点经过C点向A点运动时，|44﹣4t|＝4，解得t＝10或t＝12．
【规范解答】解：（1）∵|3a﹣b|+（a﹣3）2＝0，
∴3a﹣b＝0，a﹣3＝0，
解得a＝3，b＝9，
故答案为：3，9；
（2）设运动时间为t秒，
∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，
∴P点表示的数为3+3t，
∴PA＝3t，PB＝|6﹣3t|，
∵点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，
∴3t＝2|6﹣3t|，
解得t＝4或t＝；
（3）设运动时间为t秒，
∵点C表示的数为28，
∴A、B都在C点的左侧，
∵（28﹣3）÷3＝，
∴0＜t≤时，P点向C点运动，
此时P点表示的数是3+3t，Q点表示的数是9+t，
∴PQ＝|2t﹣6|，
∵P、Q两点之间的距离为4，
∴|2t﹣6|＝4，
解得t＝5或t＝1，
当t＝5时，Q点对应的数为14，
当t＝1时，Q点对应的数为10；
当＜t≤时，P点经过C点向A点运动，
此时P点表示的数为28﹣（3t﹣25）＝53﹣3t，Q点表示的数为9+t，
∴PQ＝|44﹣4t|＝4，
解得t＝10或t＝12，
当t＝10时，Q点对应的数为19，
当t＝12时，Q点对应的数为21；
综上所述：当t＝5时，Q点对应的数为14，当t＝1时，Q点对应的数为10；当t＝10时，Q点对应的数为19，当t＝12时，Q点对应的数为21．
【考察注意点】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，分类讨论是解题的关键．
17．（2021春•商南县校级期中）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+2），B（a﹣1，4），C（b﹣3，b+1）三点．
（1）当点C在y轴上时，求点C的坐标．
（2）当AB∥x轴时，求A，B两点间的距离．
（3）当CD⊥x轴于点D，且CD＝2时，求点C的坐标．
【易错思路引导】（1）利用y轴上点的坐标特征得到b﹣3＝0，求出b得到C点坐标；
（2）利用与x轴平行的直线上点的坐标特征得到a+2＝4，求出a得到A、B点的坐标，然后计算两点之间的距离；
（3）利用垂直于x轴的直线上点的坐标特征得到|b+1|＝2，然后求出b得到C点坐标．
【规范解答】解：（1）∵点C在y轴上，
∴b﹣3＝0，解得b＝3，
b+1＝4，
∴C点坐标为（0，4）；
（2）∵AB∥x轴，
∴A、B点的纵坐标相同，
∴a+2＝4，
解得a＝2，
∴A（﹣2，4），B（1，4），
∴A，B两点间的距离＝1﹣（﹣2）＝3；
（3）∵CD⊥x轴，CD＝2，
∴|b+1|＝2，
解得b＝﹣3或b＝1．
∴C点坐标为（﹣6，﹣2）或（﹣2，2）．
【考察注意点】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．也考查了坐标轴上点的坐标特征．
18．（2018秋•平阴县期末）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题．
对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）若A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）若C、D都在平行于x轴的同一条直线上，点C的横坐标为3，点D的横坐标为﹣2，试求C、D两点间的距离．
（3）若已知一个三角形各顶点坐标为E（0，1）、F（2，﹣1）、G（﹣2，﹣1），你能判定此三角形的形状吗？请说明理由．
【易错思路引导】（1）根据阅读材料中的A与B的坐标，利用两点间的距离公式求出A与B的距离即可；
（2）根据两点在平行于x轴的直线上，根据C、D的横坐标求出C、D两点间的距离即可；
（3）由三顶点坐标求出EF，EG，FG的长，即可判定此三角形形状．
【规范解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴AB＝＝13；

（2）∵C、D都在平行于x轴的同一条直线上，点C的横坐标为3，点D的横坐标为﹣2，
∴CD＝|3﹣（﹣2）|＝5；

（3）△EFG为等腰直角三角形，理由为：
∵E（0，1）、F（2，﹣1）、G（﹣2，﹣1），
∴EF＝＝2，
EG＝＝2，
FG＝|2﹣（2）|＝4，
∵（2）2+（2）2＝42，
则△EFG为等腰直角三角形．
【考察注意点】此题考查了两点间的距离公式，弄清题中材料中的距离公式是解本题的关键．
19．（2021•安徽模拟）先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【易错思路引导】（1）根据两点间的距离公式来求A、B两点间的距离；
（2）根据两点间的距离公式|y2﹣y1|来求A、B两点间的距离．
（3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB、BC、AC的长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状．
【规范解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴|AB|＝＝13，即A、B两点间的距离是13；

（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，
∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；

（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），
∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【考察注意点】本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离．
20．（2020秋•永安市期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则该两点间距离公式为P1P2＝，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可化简成|x1﹣x2|和|y1﹣y2|．
（1）若已知两点A（3，3），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，试求M，N两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点的坐标为A（﹣1，），B（，），C（，），你能判定这三点是否共线？若共线请说明理由，若不共线请求出图形的面积．
【易错思路引导】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，可以利用垂直于x轴的距离公式进行计算即可；
（3）先求出A、B、C三点中，任意两点之间的距离，再判断三角形的形状．
【规范解答】解：（1）∵点A（3，3），B（﹣2，﹣1），
∴AB＝＝，
即A，B两点间的距离是；
（2）∵点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，
∴MN＝|﹣2﹣7|＝9，
即M，N两点间的距离是9；
（3）这三点不共线，
该三角形为直角三角形．
理由：∵一个三角形各顶点的坐标为A（﹣1，），B（，），C（，），
∴AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，
∵AB2+AC2＝（）2+（）2＝（）2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB•AC＝××＝．
【考察注意点】本题考查两点间的距离，解题的关键是巧妙的运用两点间的距离公式求出任意两点间的距离