苏科版八年级上册3.1 勾股定理优秀课后测评

专题09 勾股定理的逆定理（综合题）

知识点1：勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足                ，那么这个三角形是直角三角形.

知识要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是                                     

         （2）勾股定理的逆定理是                    ，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

知识点2：如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）       首先确定                           

（2）       验证与是否具有               .若，则△ABC是                 的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

知识要点：当时，此三角形为           ；当时，此三角形为            其中为三角形的                  

知识点3：勾股数

满足不定方程的                     ，称为勾股数（又称为                ），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果是勾股数，当为正整数时，以                 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

知识要点：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；

一．选择题

1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）

A．，， B．1，1， C．6，8，10 D．，，

2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6 B．6，8，11 C．1，1， D．5，12，10

3．已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）

A．a＝2，b＝，c＝3 B．∠A+∠B＝∠C 

C．（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2 D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4

4．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中：①a2：b2：c2＝1：2：3；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④a＝9，b＝40，c＝41．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列说法错误的是（　　）

A．若△ABC中，a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 

B．若△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形 

C．若△ABC中，a：b：c＝41：9：40，则A＝90° 

D．若△ABC中，a，b，c三边长分别为n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则△ABC是直角三角形

6．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

7．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）

A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠B﹣∠C 

C．b2＝（a+c）（a﹣c） D．a：b：c＝5：12：13

二．填空题

8．如图所示，点D为△ABC的边BC上一点，AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则S△ABC＝　   　．

9．已知两边的长分别为3和4，若要组成一个直角三角形，则斜边的中线长为 　   　．

10．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 　   　．

11．如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝　   　（点A，B，C，D，E是网格线交点）．

12．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是 　   　．

13．如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝　   　°．

14．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝AB＝，BC＝，DC＝1．则∠ADC的度数是　   　．

三．解答题

15．已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．

16．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．

（1）求△ABC的面积；

（2）通过计算判断△ABC的形状；．

（3）求AB边上的高．

17．如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20．求：△ABD的面积．

18．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．

19．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，其两条外角平分线AD、CD交于点D，且∠ADC＝45°，连接BD交AC于点P，过点P作PE⊥AC交BC于点F，交AB的延长线于点E．（1）求证：∠ABC＝90°．

（2）求S△PFC：S△PBF的值．

20．在方格图中哪些是直角三角形，并说明理由．