初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理优秀综合训练题

专题10 勾股定理的应用（综合题）

一．选择题

1．（2022•和平区校级开学）如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）尺．

A．7.5 B．8 C． D．9

【易错思路引导】设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列方程即可．

【规范解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，

即：，

解得：x＝，

即芦苇的长度为：尺，

故选：C．

【考察注意点】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

2．（2021秋•淇县期末）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（　　）

A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米

【易错思路引导】根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案．

【规范解答】解：∵车宽1.6米，

∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高．

在Rt△OCD中，由勾股定理可得：

CD＝＝＝0.6（米），

∴CH＝CD+DH＝0.6+2.3＝2.9（米），

∴卡车的外形高必须低于2.9米．

故选：B．

【考察注意点】此题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据勾股定理得出CD的长是解决问题的关键．

3．（2021秋•平昌县期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　）

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米

【易错思路引导】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．

【规范解答】解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m，

由勾股定理得BD＝CE＝＝4（m），

故离门4米远的地方，门铃恰好自动响起．

故选：B．

【考察注意点】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

4．（2022春•海安市期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）

A．x2−3＝（10−x）2 B．x2−32＝（10−x）2 

C．x2+3＝（10−x）2 D．x2+32＝（10−x）2

【易错思路引导】根据题意结合勾股定理列出方程即可．

【规范解答】解：设折断处离地面x尺，

根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，

故选：D．

【考察注意点】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．

5．（2022•阳谷县校级开学）如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB＝∠CBD＝90°，AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm，则CD长为（　　）cm．

A．5 B．13 C． D．15

【易错思路引导】先根据图形及题目中所给的数据求出BC的长，再由勾股定理求出CD的长即可．

【规范解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2＝42+32＝25，

在 Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2＝25+122＝169，

∴CD＝13（cm）．

故选：B．

【考察注意点】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出BC的平方的长是解题关键．

6．（2022•荷塘区校级二模）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸

【易错思路引导】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．

【规范解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：

由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，

设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，

则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，

∴AE＝（r﹣1）寸，

在Rt△ADE中，

AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，

解得：r＝50.5，

∴2r＝101（寸），

∴AB＝101寸，

故选：B．

【考察注意点】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．

二．填空题

7．（2021秋•内乡县期末）小亮用11块高度都是2cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD木板，截面如图所示．两木墙高分别为AE与CF，点B在EF上，求正方形ABCD木板的面积为 　244　cm2．

【易错思路引导】根据∠ABE的余角相等求出∠EAB＝∠CBF，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后利用勾股定理列式求出BC2，再根据正方形的面积公式解答．

【规范解答】解：∵AE⊥EF，CF⊥EF，

∴∠AEB＝∠BFC＝90°，

∴∠EAB+∠ABE＝90°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBF＝90°．

∴∠EAB＝∠CBF，

∵AB＝BC，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE＝BF＝2×5＝10（cm），

∵CF＝2×6＝12（cm）．

在Rt△BCF中，BC2＝BF2+CF2＝102+122＝244，

∴S正方形ABCD＝BC2＝244cm2，

即正方形ABCD木板的面积为244cm2．

故答案为：244．

【考察注意点】本题考查了全等三角形的应用，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于找出∠EAB＝∠CBF．

8．（2021秋•姜堰区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 　1.6　米．

【易错思路引导】过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．

【规范解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：

则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，

在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，

由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），

∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），

∴CD＝BE＝1.6米，

故答案为：1.6．

【考察注意点】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

9．（2021秋•邓州市期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”

译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC的长为 　　尺．

【易错思路引导】设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可列出方程解答即可．

【规范解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，

在Rt△ABC中，

由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，

x2﹣（x﹣3）2＝82，

解得：x＝，

答：绳索长为尺．

故答案为：．

【考察注意点】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10．（2021秋•南海区期末）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 　2.5　m．

【易错思路引导】设绳索AD的长为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，再由勾股定理得出方程，解方程即可．

【规范解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，

∴四边形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形，

∴CE＝BF＝1m，

∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m），

设绳索AD的长为xm，

则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，

即（x﹣0.5）2+1.52＝x2，

解得：x＝2.5（m），

即绳索AD的长是2.5m，

故答案为：2.5．

【考察注意点】此题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．

11．（2021秋•滨海县期末）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B．小丽想在A处树立一个标牌“沿路多走■米，共建美丽家园”请问：小丽在标牌■填上的数字是 　4　．

【易错思路引导】在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC+BC﹣AB可以求解．

【规范解答】解：在Rt△ABC中，AB为斜边，

∴＝＝13米，

少走的距离为

AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米

答：小明在标牌■填上的数字是4．

故答案为：4．

【考察注意点】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中正确的运用勾股定理求AB是解题的关键．

12．（2021秋•崇川区期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为　（x﹣3）2+64＝x2　．

【易错思路引导】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．

【规范解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+64＝x2，

故答案为：（x﹣3）2+64＝x2

【考察注意点】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

三．解答题

13．（2022春•无为市期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．

【易错思路引导】根据勾股定理得出BC，进而利用勾股定理得出DC即可．

【规范解答】解：由题意可知，∠B＝90°，

∵AB＝20，AC＝25，

∴BC＝（米），

∵AD＝12，

∴DB＝AB﹣AD＝20﹣12＝8（米），

∴DC＝（米），

即小鸟到地面C点的距离为4米．

【考察注意点】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出BC解答．

14．（2021秋•郓城县校级月考）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB＝4km，AC＝3km，BC＝5km，要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，求这条公路的最低造价是多少万元？

【易错思路引导】先根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，这条公路的造价最低，再根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求出AD的长，由此即可得．

【规范解答】解：如图，由垂线段最短可知，当AD⊥BC时，这条公路的造价最低，

∵AB＝4km，AC＝3km，BC＝5km，

∴AB2+AC2＝25＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，

∴，

即，

解得．

则这条公路的最低造价为（元）＝6.24（万元），

答：这条公路的最低造价是6.24万元．

【考察注意点】本题考查了垂线段最短和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．

15．（2022春•延津县期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

【易错思路引导】设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AC＝（x﹣1.2）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣1.2）2．

【规范解答】解：在Rt△ACB中，

AC2+BC2＝AB2，

设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x+0.6﹣1.2）m，

故x2＝2.42+（x+0.6﹣1.2）2，5.76﹣1.2x+0.36＝0

解得：x＝5.1，

答：绳索AD的长度是5.1m．

【考察注意点】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

16．（2022春•龙湖区期末）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）

【易错思路引导】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．

【规范解答】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，

∴（m），

∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，

∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），

∴（m），

∴）（m）．

答：船向岸边移动了）m．

【考察注意点】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

17．（2022春•梁平区期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）．

【易错思路引导】解直角三角形得到AB＝OA﹣OB＝73米，求得此车的速度≈86千米/小时＞80千米/小时，于是得到结论．

【规范解答】解：此车超速，

理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，

∴△POB是等腰直角三角形，

∴OB＝OP＝100米，

∵∠APO＝60°，

∴OA＝OP＝100≈173米，

∴AB＝OA﹣OB＝73米，

∴≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，

∴此车超速．

【考察注意点】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．

18．（2022春•曲阜市期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3；

（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；

（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；

（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出图4中阴影部分的面积．

【易错思路引导】（1）由扇形的面积公式可知S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即S1+S2＝S3；

（2）根据（1）中的求解即可得出答案；

（3）利用（2）中的结论进行求解．

【规范解答】解：（1）∵，

根据勾股定理可知：S1+S2＝S3；

（2）S1+S2＝S3；

（3）S阴影部分＝S1+S2﹣（S3﹣S△ABC）

＝S△ABC＝×6×8＝24．

【考察注意点】本题考查勾股定理的应用，难度适中，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．

19．（2022春•道外区期末）某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？

【易错思路引导】连接AC，先证明△ACD是直角三角形，根据S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC求出四边形ABCD的面积即可解决问题．

【规范解答】解：连接AC，

∵∠B＝90°，

∴在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，

在△ACD中，CD2＝132，AD2＝122，

∵52+122＝132，

∴AC2+AD2＝CD2，

∴∠DAC＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC＝AB•BC+AC•AD＝36cm2，

∵36×30＝1080（元），

∴这块地全部种草的费用是1080元

【考察注意点】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明△ADC是直角三角形，属于中考常考题型．

20．（2022春•江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．

（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；

（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．

【易错思路引导】（1）由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．

（2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC＝AC．在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出方程122+（36﹣BC）2＝BC2，解方程即可．

【规范解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；

（2）连接BC，

由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB＝CA．

由题意可得：OC＝36﹣CA＝36﹣CB．

∵OA⊥OB，

∴在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，

即：122+（36﹣BC）2＝BC2，

解得BC＝20．

答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．

【考察注意点】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系