数学必修 第一册5.2 三角函数的概念练习

第1讲：三角函数

(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：区域角

类型二：确定及的终边所在的象限

类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用

类型四：利用三角函数的定义求三角函数值

 角度1：单位圆定义法

角度2：终边上任意一点法

类型五：已知三角函数值或符号求参数

类型六：利用同角三角函数的基本关系求值

角度1：已知某个三角函数值,求其余三角函数值

角度2：已知,求关于和的齐次式的值

角度3：利用,与之间的关系求值

类型七：新定义题

类型一：区域角

典型例题

1．（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）如图，写出所有终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合________

2．（2022·全国·高一课时练习）写出角的终边在下列位置时的集合．

（1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）；

（2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．

3．（2022·全国·高一课前预习）如图所示阴影部分角的集合.

4．（2022·江苏·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．

同类题型演练

1．（2022·江苏·高一专题练习）如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________.

2．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角的取值集合.

3．（2022·全国·高一课时练习）如图,,分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且,.

(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合;

(2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合.

4．（2022·全国·高一课前预习）已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围．

5．（2021·江苏·高一专题练习）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).

（1）；

（2）

类型二：确定及的终边所在的象限

典型例题

1．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（    ）．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（    ）

A．第二或第四象限 B．第二或第三象限

C．第一或第四象限 D．第三或第四象限

3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若是第二象限角，则（    ）

A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角

C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角

4．（2022·全国·高三专题练习）已知终边在第四象限，则终边所在的象限为_______________．

同类题型演练

1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）若角的终边落在第三象限，则的终边落在第_________象限；

3．（2022·全国·高三专题练习）角的终边在第二象限，则角的终边在_________．

4．（2022·全国·高一课时练习）若，，试确定，分别是第几象限角．

类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用

典型例题

1．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2022·安徽·六安一中高三阶段练习）已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角________扇形面积最大．

4．（2022·陕西咸阳·高一期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为______.

5．（2022·广西·钦州一中高一期中）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为弧度．求：

(1)这个圆心角所对的弧长；

(2)这个扇形的面积．

6．（2022·全国·高一课时练习）已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.

（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；

（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；

（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

2．（2022·全国·高一课时练习）半径为2cm，圆心角为1rad的扇形的面积为（   ）

A． B． C． D．

3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（2022·广东实验中学附属江门学校高一开学考试）如图，正五边形的边长为5，分别以点C、D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为_____．

5．（2022·全国·高一课时练习）如图，点是圆上的点.

(1)若，，求劣弧的长；

(2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.

6．（2022·全国·高一课时练习）近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.

（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；

（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.

类型四：利用三角函数的定义求三角函数值

 角度1：单位圆定义法

典型例题

1．（2022·四川广安·高一期末）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ）

A． B． C． D．

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与单位圆的交点为 ，则 ______.

角度2：终边上任意一点法

典型例题

1．（2022·河南洛阳·高一期末（文））已知角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边有一点，则________.

同类题型演练

1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知角的终边经过点， 则（    ）

A．2 B． C．1 D．

2．（2022·北京市第九中学高一期中）已知点为角α终边上一点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

类型五：已知三角函数值或符号求参数

典型例题

1．（2022·四川·高三开学考试（理））若角的终边与单位圆的交点为，则（     ）．

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边经过点，且，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）角的终边经过点，且，则的值为______．

4．（2022·上海·复旦附中高二开学考试）设角的终边经过点，那么______．

同类题型演练

1．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角终边过点，则的值为（    ）

A． B． C．– D．–

2．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）已知点为角终边上一点.，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知点是角终边上一点，且，则__________．

4．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知角的终边经过点），且，则=_________.

类型六：利用同角三角函数的基本关系求值

角度1：已知某个三角函数值,求其余三角函数值

典型例题

1．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·海南·高一期末）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高一专题练习）已知，，则 _____.

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·上海·同济大学第一附属中学高三阶段练习）已知，则___________.

3．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知A为三角形内角且，则________.

角度2：已知,求关于和的齐次式的值

典型例题

1．（2022·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

2．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知，则______．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则______．

4．（2022·全国·高一课时练习）已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

同类题型演练

1．（2022·贵州·高二开学考试）若，则的值为（    ）

A． B．4 C． D．

2．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））如果，那么___________.

3．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知，求以下各式的值．

(1)；

(2)．

4．（2022·江西·南昌二中高一阶段练习）已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

角度3：利用,与之间的关系求值

典型例题

1．（2022·全国·高三专题练习）的三个内角为，若，则的值为（     ）

A． B． C． D．

2．（多选）（2022·广西钦州·高一期末）已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）设是第二象限角，且满足，则___________.

4．（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）已知，则___________.

5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

6．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最大值是________，最小值是________.

同类题型演练

1．（2022·黑龙江·哈九中高一期末）已知，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知，且，则____.

4．（2022·新疆阿勒泰·高一期末）已知为第四象限角，，则___________.

5．（2022·山东·德州市第一中学高一期末）已知，，求下列各式的值.

（1）；

（2）.

6．（2022·湖北武汉·高一期末）已知.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

类型七：新定义题

1．（2022·四川·高三开学考试（理））折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（    ）．

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高一课时练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（    ）

A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m

3．（2022·全国·高三专题练习（理））月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（    ）（参考数据：）

A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2

4．（2022·陕西汉中·高一期中）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．2月5日，在北京冬奥会短道跑道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌，这也是中国代表团在本届冬奥会上赢得的首枚金牌．短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为，直道长为．若跑道内圈的周长等于半径为的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（    ）

A． B． C．2 D．

5．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·山东·广饶一中高一阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 （    ）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·高一单元测试）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

8．（多选）（2022·全国·高一单元测试）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（    ）

A．

B．若，扇形的半径，则

C．若扇面为“美观扇面”，则

D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为

9．（2022·全国·高一课时练习）刘徽是我国古代著名数学家，他对《九章算术》中的各个图形面积计算公式的正确性进行验证，树立了中国数学史上对数学命题进行逻辑证明的典范.刘徽认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆叠合而成，那么这些同心圆的周长也可以叠成一个等腰三角形（如图），该圆（周长为，半径为）的面积与等腰三角形的面积相等.即.若某图形由圆心角为，弧长为的扇形剪去一个小扇形得到，且它们所在圆的半径差为（如图），运用这种积线成面的面积观，求该图形的面积___________（用表示）.

10．（2022·全国·高三专题练习）赵爽弦图如图所示，其中大正方形是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的，若，且小正方形与大正方形的面积之比为1：4，则的值为______．