人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀复习练习题

第1讲：基本不等式(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：直接法

类型二：凑配法

类型三：分离法

类型四：二次与二次（一次）商式（换元法）

类型五：常数代换“1”的代换

类型六：消元法

类型七：对钩函数

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果，，，当且仅当时，等号成立．

②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．

2、两个重要的不等式

①（）当且仅当时，等号成立．

②（）当且仅当时，等号成立．

3、利用基本不等式求最值

①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；

②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；

4、对钩函数：

对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.

①凑：凑项，例：；

凑系数，例：；

②拆：例：；

③除：例：；

④1的代入：例：已知，求的最小值.

解析：.

⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.

解析：，即，解得.

类型一：直接法

典型例题

例题1．（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.

所以当时，函数有最小值4.

故选：C.

例题2．（2022·贵州遵义·三模（理））若，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】当时，，

（当且仅当，即时取等号），的最大值为.

故选：A.

同类题型演练

1．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）若，则有（       ）

A．最小值 B．最小值

C．最大值 D．最大值

【答案】B

【详解】因为，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值.

故选：B.

2．（2022·广东·普宁市华美实验学校高一阶段练习）函数的最小值是________.

【答案】2

【详解】解：因为，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以函数的最小值为2.

故答案为：2.

3．（2022·四川成都·高一期末（理））若 ，则的最小值为________________．

【答案】

【详解】，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

类型二：凑配法

典型例题

例题1．（多选）（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知，则的取值可以是（   ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】BCD

【详解】，当且仅当,

即时等号成立，则的最小值为.

故选：.

例题2．（2022·云南云南·高二阶段练习）已知，则的最小值为__________.

【答案】3

【详解】解：，当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：3.

同类题型演练

1．（2022·广西柳州·高一期末）若，则的最小值为___________.

【答案】0

【详解】由，得，

所以，

当且仅当即时等号成立.

故答案为：0

2．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）已知，则的最小值是______．

【答案】6

【详解】，则，当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值是6.

故答案为：6

3．（2022·四川凉山·高一期末（文））若，则的最小值为______．

【答案】2

【详解】因为， 所以，

因为，

当且仅当时，即等号成立，

所以的最小值为2.

故答案为：2.

类型三：分离法

典型例题

例题1．（2022·云南红河·高一期末）函数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】当时，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故选：B.

例题2．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知，，，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【详解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立．

故选：B.

例题3．（2022·吉林·长春市第五中学高二期末）已知，求的最小值______________.

【答案】

【详解】，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

同类题型演练

1．（2022·辽宁丹东·高二期末）若，则函数的最小值为（       ）

A．4 B．5 C．7 D．9

【答案】C

【详解】解：因为，所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以函数的最小值为；

故选：C

2．（2022·全国·高一课时练习）已知，比较两数的大小：______9．

【答案】

【详解】因为，

所以，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故答案为：

3．（2022·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知，则函数的最小值为___________.

【答案】

【详解】因为，所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9，

故答案为：9

4．（2022·云南·峨山彝族自治县第一中学高一阶段练习）已知，，当取得________时；取得最小值为_________；

【答案】     6     15

【详解】，

因为，故，由基本不等式可得，

当且仅当时等号成立，

故当时，取得最小值15.

故答案为：.

类型四：二次与二次（一次）商式（换元法）

典型例题

例题1．（2022·天津·南开中学模拟预测）若实数，满足，且，则的最大值为______.

【答案】##0.125

【详解】令，则，

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为

故答案为：

例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数 的最小值为______．

【答案】7

【详解】令，；则

 (当且仅当，即时，等号成立)，

故函数 ，的最小值为

故答案为：7

同类题型演练

1．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的最小值为___．

【答案】

【详解】因为，令，则，

又因为，可得，

因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，

所以，即的最小值为.

故答案为：.

2．（2022·内蒙古·鄂尔多斯市第一中学高二阶段练习（理））设，则函数的最小值为（       ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】B

【详解】令，则，因为，所以.

所以，当且仅当时，有最小值9.

故选：B.

类型五：常数代换“1”的代换

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（       ）

A．13 B．19 C．21 D．27

【答案】D

【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27

故选：D

例题2．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是（       ）

A．4 B． C．5 D．9

【答案】B

【详解】解：因为，是正实数，所以

故有，

当且仅当

例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知都是正数，且，则的最小值为（   ）

A． B．2 C． D．3

【答案】C

【详解】由题意知，，，

则

，

当且仅当时，取最小值.

故选：C．

例题4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数满足，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题设，，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为.

故选：B

例题5．（2022·云南丽江·高一期末）若正数，满足，则的最小值为___________.

【答案】9

【详解】解：因为正数，满足，

所以，

则，

当且仅当且，即时取等号，

所以的最小值为．

故答案为：．

同类题型演练

1．（2022·全国·高一专题练习）已知，，，则的最小值为（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【详解】根据题意，，

∴，当且仅当且时等号成立，

∴的最小值为，

故选：D．

2．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设，为正数，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】∵，

∴，即，

∴

，当且仅当，且时，即

，时等号成立.

故选：.

，即，时取到等号.

故选：B.

3．（2022·江苏·高三专题练习）已知，且，则的最小值是（       ）

A．2 B．6 C．3 D．9

【答案】D

【详解】，

当且仅当，时取等号，

故选：D

4．（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．

【答案】9

【详解】正数，满足：，

，

当且仅当，即，时 “”成立，

故答案为：.

5．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知，，，则的最小值为__________．

【答案】

【详解】解：由，得，

所以

，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

6．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）非负实数x，y满足，则的最小值为______．

【答案】0

【详解】当时，；

当x，时，由得，

所以（当且仅当,即 时，等号成立）．

所以的最小值为0．

故答案为：.

类型六：消元法

典型例题

例题1．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数，满足，则的最小值为（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【详解】根据题意有，故，当且仅当，时取等号.

故选：A

例题2．（2021·江苏·高一专题练习）已知，则的最小值是（       ）

A．14 B． C．8 D．

【答案】A

因为，则，

于是得，

当且仅当，即时取“=”，

所以当时，取最小值14.

故选：A

同类题型演练

1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）

A．2 B． C． D．6

【答案】B

由，得，

所以，

当且仅当，即取等号.

故选：B.

2．（2021·湖南长沙市湖南师大附中高二月考）若正数满足，则的最小值是___________.

【答案】

【详解】由，可得.

又，所以(当且仅当时等号成立).

故答案为：

类型七：对钩函数

典型例题

例题1．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）函数的最小值为（       ）

A． B．2 C．3 D．4

【错解】D

故选：D（错解在于利用基本不等式求最值问题，要满足一正，二定，三相等，显然本例中，等号成立当且仅当，即取不到.）

【正解】A

，由对钩函数图象，当时，随的增大而增大，所以当时，故选：A

例题2．（2022·全国·高一专题练习）求函数的最值.

【答案】最小值为，无最大值

【详解】解：，令，则，

因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.

故的最小值为，无最大值.

同类题型演练

1．（2021·福建·厦门双十中学高一期中）若，则的最小值是（       ）

A．6 B．5 C． D．3

【答案】C

【详解】，令，所以，由对钩函数，当时，随着的增大而增大，所以当时，

故选：C.

2．（2021·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）已知，求的最小值___________．

【答案】

【详解】∵

令，则，

由对钩函数知当时，随着的增大而增大，当时，

故答案为：