人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）优秀测试题

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第4讲：3.4函数的应用（一）(重点题型方法与技巧)
目录
重点题型一：二次函数模型的应用
重点题型二：分段函数模型的应用
重点题型三：利用对钩函数求最值或值域
重点题型四：恒成立（能成立）问题
重点题型五：双变量问题
重点题型六：新定义问题



重点题型一：二次函数模型的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．

(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为平方米，当 为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15米；
(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.
（1）设篱笆的一面AB的长为 x 米，则，
由题意得，，
解得，
，
，
，
所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）由题意得，
时， S 取得最大值，此时，，
所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
例题2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二期末（文））首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【答案】(1)400吨；
(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当 ，即 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合函数，且时，；时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2），销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.
【详解】（1）因为 ，所以，
由题意得：，解得：，
所以函数的解析式为：，
（2）由题意知：
利润为，
因为，
所以当时，取得最大值，最大值是.
所以利润与销售单价之间的关系式为，
销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.
2．（2022·全国·高一课时练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
【详解】解:设可获得的总利润为万元，则
∵在上是增函数，
∴当时，.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.

重点题型二：分段函数模型的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
【答案】(1)
(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元
（1）由题意知，当时，，所以a=300.
当时，；
当时，.
所以，
（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；
当时，，
当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.
因为，
所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.
例题2．（2022·山西现代双语学校南校高二期中）某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，万元，当年产量不少于台时，万元．若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)；
(2)当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元．
(1)当，时，
；
当，时，
；
综上所述：.
(2)当，时，，
则当时，的最大值为；
当，时，
（当且仅当，即时等号成立）；
当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元．
例题3．（2022·浙江金华第一中学高一开学考试）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映；调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为（件），月利润为（元）.
(1)直接写出与之间的函数关系式；
(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
【答案】(1)
(2)销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；
(3)将售价控制在55元到70元之间（含55元和70 元）
（1）由题意，每件最多涨元，最多降价元，故.
当时，，
当时，，
所以y与x之间的函数关系式.
（2）当时，，
因为，，
所以当时，取得最大值，最大值为6250；
当时，，
因为，，
所以当时，取得最大值，最大值为6125，
综上，当时，月利润最大，最大利润为6250元，
即当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；
（3）分析可得：
当时，，即，解得；
当时，由，即，解得；
综上可得，当时，得
所以将售价控制在55元到70元之间（含55元和70 元）才能使每月利润不少于6000元.
同类题型演练
1．（2022·河南·濮阳一高高一期中（文））今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元
(1)当时，；
当时，；
∴；
(2)若，，
当时，万元；
若，，
当且仅当即时，万元.
答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.
2．（2022·陕西·大荔县教学研究室高一期末）某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业，经过市场调查，加工某农品需投入固定成本2万元，每加工万千克该农产品，需另投入成本万元，且.已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.
(1)求加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系；
(2)当加工量小于6万千克时，求加工后的农产品利润的最大值.
【答案】(1)；
(2)万元.
(1)当时，，当时，，故加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系为 ；
(2)当加工量小于6万千克时，，当时，农产品利润取得最大值万元.
3．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？
【答案】(1)；
(2)万件时最大利润为18万元.
(1)由题设，，
所以.
(2)当时，
故时最大利润为12万元；
当时，
当且仅当时等号成立，此时最大利润为18万元；
综上，当万件时最大利润为18万元.
重点题型三：利用对钩函数求最值或值域
典型例题
例题1．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知，则的最大值是_________
【错解】##
，
故答案为：.
【正解】
【详解】，令，在上单调递增，当时，原式
例题2．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小值为______.
【错解】4
【详解】，
所以的最小值为4，
故答案为：4
【正解】
【详解】，令，原式等于（）在上单调递增，所以当时，
点评，在例题1,2中，错解主要使用基本不等式，基本不等式使用时一定要满足一正，二定，三相等，例题1,2中都不满足“三相等”这个条件，从而造成错解，此时应改用对钩函数解题.
重点题型四：恒成立（能成立）问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）∵是幂函数，∴，∴或2.
当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴.
（2）即，要使此不等式在上恒成立，
令,只需使函数在上的最小值大于0.
∵图象的对称轴为，故在上单调递减，
∴，
由，得，
∴实数k的取值范围是.
例题2．（2022·浙江衢州·高二阶段练习）已知函数.
(1)当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)增区间为、，减区间为
(2)或
(1)解：当时，，
所以，函数的增区间为、，减区间为.
(2)解：因为存在，使得，
等价于存在，使得成立，即，
所以，或在上有解，
即或在上有解，
所以，或，.
因为、在上均为增函数，则在上为增函数，
所以，，
当时，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，则.
综上所述，或.
同类题型演练
1．（2022·重庆·高一期末）已知函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)偶函数
(2)
(1)函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数；
(2)因为在上单调递增，
故函数在上单调递减，
所以，
因为当时，恒成立
转化为，即可，
所以，
则实数的取值范围为．
重点题型五：双变量问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知______，且函数.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为.
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出，的值，并解答本题.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；
(2).
（1）选择①.
由在上是偶函数，
得，且，所以a＝2，b＝0.
所以.
选择②.
当时，在上单调递增，则，解得，
所以.
为奇函数.
证明如下：的定义域为R.
因为，所以为奇函数.
（2）当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当x＝0时，，所以的值域为.
因为在上单调递减，所以函数的值域是.
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，所以,解得.
所以实数c的取值范围是.
例题2．（2022·全国·高一期中）已知函数的定义域为，且，，当且时恒成立．
(1)判断在上的单调性；
(2)解不等式；
(3)若对于所有，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增
(2)
(3)
（1），，则当时，，
；
当时，；当时，；
在上单调递增.
（2）由（1）知：，解得：，
的解集为.
（3）由（1）知：，对于任意恒成立；
令，
当时，不成立，不合题意；
当时，在上单调递减，
，解得：（舍）或；
当时，在上单调递增，
，解得：或（舍）；
综上所述：的取值范围为.
例题3．（2022·山东·济南市历城第二中学高一开学考试）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的范围．
【答案】(1)的增区间，减区间是，值域是．
(2)．
(1)由题意在上递减，在上递增，，又，，
所以的增区间，减区间是，值域是．
(2)由题意知在上递减，，所以，
时，，
对任意，总存在，使得成立，则，
所以，所以．
例题4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．
(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．
(2)
（1）．
设，，则，．
由已知性质，得当，即时，
单调递减，所以的单调递减区间为；
当，即时，
单调递增，所以的单调递增区间为．
由，，，得的值域为．
（2）因为在上单调递减，
所以．
由题意，得的值域是的值域的子集，
所以，所以．
同类题型演练
1．（2022·广东汕尾·高一期末）已知函数．
(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；
(2)令，若对，，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)证明：设，，且，
则，
当时，∴，，
∴，∴，即，
∴函数在上单调递减．
当时，∴，，∴，∴，即，
∴函数在上单调递增．
综上，函数在上单调递减，在上单调递增．
(2)解：由题意知，
令，，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，∵函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递减，
当时，取得最大值，，
当时，取得最小值，，
所以，，
又∵对，，都有恒成立，
∴，即，解得,
又∵，∴k的取值范围是．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)求证：函数在区间上是单调增函数；
(2)若对，满足不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
（1）由，
令，则，
所以，故在区间上是单调增函数.
（2）令，则问题转化为在，上有，
由在上递增，故，
当时，在上递增，则，
所以，可得.
当时，则，符合题设；
当时，在上递减，则，
所以，可得.
综上，.
3．（2022·全国·高一单元测试）已知函数满足．
(1)求的解析式，并求在上的值域；
(2)若对，且，都有成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
（1）因为①，
所以②，联立①②解得.
当时为增函数，时为减函数，
因为
所以
（2）对，，，都有，
不妨设，则由
恒成立，也即可得函数在区间（2，4）递增；
当，即时，满足题意；
当，即时，为两个在上单调递增函数的和，
则可得在单调递增，从而满足在（2，4）递增，符合题意；
当，即时，，其在递减，在递增，
若使在（2，4）递增，则只需；
综上可得：
4．（2022·湖北·高一期末）已知函数f (x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a．
(1)若函数y＝f (x)在区间[－1，0]上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，使得f (x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)[－5，0]
(2)
(1)因为函数f (x)的对称轴是x＝2，
所以y＝f (x)在区间[－1，0]上是减函数，
因为函数y＝f (x)在区间[－1，0]上存在零点，则必有
即解得－5≤a≤0．
故所求实数a的取值范围[－5，0]．
(2)若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，
使得f (x1)＝g(x2)成立，只需当x∈[-1，3]时函数y＝f (x)的函数值组成的集合为函数y＝g(x)的函数值组成的集合的子集．
f (x)＝x2－4x＋a在区间x∈[-1，3]的函数值组成的集合为[a－4，a＋5]，
①当a＝0时，g(x)＝5为常数，不符合题意，舍去；
②当a>0时，g(x)在区间[-1，3]的值域为[5－2a，5+2a]，
所以， 解得．
③当a<0时，g(x)在区间[-1，3]的值域为[5+2a， 5－2a]，
所以，．
综上所述，实数a的取值范围为．
5．（2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）已知函数对任意实数､恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)证明函数单调性并求在区间上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析，最大值为
(3)
(1)取，则
取，则
对任意恒成立为奇函数
(2)证明：任取且，
则又为奇函数
故为上的减函数

故在上的最大值为
(3)在上是减函数
，对所有恒成立
恒成立即恒成立
令，则，即解得或
实数的取值范围为
重点题型六：新定义问题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，利用函数图象解决下列问题．
(1)若，试比较与的大小．
(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．
【答案】(1)；
(2)具有较好的保值性，保值区间是，，．
（1）由的图象，如下图所示．

由图知：当时，．
（2）具有较好的保值性，
由的图象知：的值域是．
当时，趋向，不符合题意；
当时，要使值域为，则，
所以m，n是方程的两个根，解得m＝1，n＝2，
所以保值区间是；
当时，要使值域为，则，解得m＝1或m＝2，
所以保值区间是，．
综上，具有较好的保值性，保值区间是，，．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）若存在常数，使得对定义域内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域上是“－利普希茨条件函数”．
(1)请写出一个“－利普希茨条件函数”（要求明确函数的表达式、的值及定义域）；
(2)若函数是“－利普希茨条件函数”，求常数的取值范围．
【答案】(1)，定义域，k＝3（答案不唯一）
(2)
（1），定义域，k＝3（答案不唯一）；
（2）若函数是“k－利普希茨条件函数”，
则对于定义域内的任意，，都有成立．
不妨设，则恒成立，
因为，所以，所以，
所以的取值范围是．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）对于函数，若存在，使，则称是的一个“伸缩倍点”.已知二次函数.
(1)当时，求函数的“伸缩2倍点”；
(2)当函数有唯一一个“伸缩3倍点”时，求二次函数的最大值.
【答案】(1)－1和4
(2)当时，最大值为；当时，最大值为
（1）当a＝1时，，设是的“伸缩2倍点”，则，得，解得或，
∴函数的“伸缩2倍点”是－1和4.
（2）∵函数有唯一一个“伸缩3倍点”，∴方程有唯一解，即有唯一解，由，解得或a＝－3.
①当时，二次函数，最大值为.
②当时，二次函数，最大值为.
例题4．（2022·上海师大附中高二期末）函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数.
(1)判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
(2)若是“圆锥托底型”函数，求出的最大值；
(3)问实数､满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.
【答案】(1)是，不是，理由见解析
(2)2
(3)，
(1)由题意，当时，恒成立，故是“圆锥托底型”函数；对，考虑时，恒成立，即恒成立，因为，故不存在常数使得对一切实数x均成立，故不是“圆锥托底型”函数
(2)由题意，对一切实数x均成立.当时显然成立，
当时，恒成立，又，当且仅当时取等号.故M的最大值为2
(3)若是“圆锥托底型”函数则：
①当时，恒成立，即即可，故当时，即可满足条件；
②当时，若，则为常数，不满足恒成立.
若时，令，解得，此时无解，故当时，不是“圆锥托底型”函数
综上，当，时，是“圆锥托底型”函数
例题5．（2022·湖南郴州·高一期末）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：① 在内是单调函数；② 当定义域是时，的值域也是；则称是该函数的“美好区间”.
(1)判断函数是否存在“美好区间”，若存在，则求出，的值，若不存在，请说明理由；
(2)已知函数有“美好区间”，当变化时，求出的最大值.
【答案】(1)存在，
(2)
(1)函数存在美好区间.
假设存在美好区间[m，n]，由函数f（x）的定义域为，∴   n>m>0
∵∴
由“美好区间”的定义可知：
1）当时，在（0，）上为减函数，
故有，即，此时实数m，n的值不存在
2）当时，在上为增函数.
故有，即由此可得m，n是方程的根.
解得，而，所以此时成立
综上所述，函数存在美好区间，其中
(2)设[m，n]是的美好区间，
则或，.
故函数在[m，n]上单调递增.
由[m，n]是函数的“美好区间”，则，
故m，n是方程，即的同号的相异实数根.
由，可知同号，只须，
即或时，函数有“美好区间”[m，n].
此时

由或得
故当即时，有最大值