数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程一课一练

课时作业(二十一)　椭圆的标准方程

一、选择题

1．平面内，若点M到定点F1(0，－1)，F2(0，1)的距离之和为2，则点M的轨迹为(　　)

A．椭圆

B．直线F1F2

C．线段F1F2

D．直线F1F2的垂直平分线

答案：C

2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且b＝2的椭圆方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案：D

3．(2022安徽蚌埠模拟)“1<m<5”是“方程＋＝2表示椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：若方程表示椭圆，则有因此1<m<5且m≠3，故“1<m<5”是“方程＋＝2表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.

4．(2022河北衡水中学模拟)设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)

A．9,12  B．8,11  C．10,12  D．8,12

答案：D

5．(2021新高考全国卷Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)

A．13   B．12　  C．9   D．6

答案：C

解析：由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|·|MF2|≤2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C.

6．(多选题)(2022江苏南京联考)已知P是椭圆＋y2＝1上一点，F1，F2是其两个焦点，则∠F1PF2的大小可能为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：BCD

解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m>0，n>0，且m＋n＝2a＝4，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝－1，因为mn≤2＝4，

所以cos∠F1PF2≥－，当且仅当m＝n时取等号，故∠F1PF2的最大值为，

所以∠F1PF2的大小可能为，，.故选BCD.

7．(多选题)(2022山东淄博月考)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　)

A．P点纵坐标为3

B．∠F1PF2>

C．△F1PF2的周长为4(＋1)

D．△F1PF2的内切圆半径为(－1)

答案：CD

解析：由已知a＝2，b＝2，c＝2，

不妨设P(m，n)，m>0，n>0，

则S△F1PF2＝×2c×n＝3，

∴n＝，故A错；

∵＋＝1，得m＝，

∴P，

∴|PF1|2＝2＋＝＋2，

|PF2|2＝2＋＝－2，

∴|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2＝×2－16＝>0，

∴cos∠F1PF2＝>0，

∴∠F1PF2<，故B错；

由椭圆的定义，△F1PF2的周长＝2a＋2c＝4＋4，故C正确；

设△F1PF2的内切圆半径为r，r·(4＋4)＝3，

∴r＝(－1)，故D正确．

故选CD.

二、填空题

8．(2021全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．

答案：8

解析：方法一：因为|PQ|＝|F1F2|，所以PF1⊥PF2.

因为|PF1|＋|PF2|＝8，

|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝48，

所以|PF1||PF2|＝[(|PF1|＋|PF2|)2－|F1F2|2]＝×(64－48)＝8，

所以S四边形PF1QF2＝|PF1||PF2|×2＝8.

方法二：因为|PQ|＝|F1F2|，所以PF1⊥PF2.

令∠QF2F1＝α，

所以可得|QF1|＝2csin α＝4sin α，

|QF2|＝2ccos α＝4cos α，

|QF1|＋|QF2|＝4sin α＋4cos α＝8，

所以sin α＋cos α＝，所以sin αcos α＝，

所以S四边形PF1QF2＝|QF1|·|QF2|×2

＝48sin αcos α＝8.

9．(2022安徽六安一中模拟)一动圆与圆(x＋3)2＋y2＝4外切，同时与圆(x－3)2＋y2＝100内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________．

答案：＋＝1

10．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点M的纵坐标为________.

答案：±

解析：∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点，∴OM为△PF1F2的中位线，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3或－3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.∴点M的纵坐标为±.

三、解答题

11．(2022宁夏育才中学质检)求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)已知某椭圆的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点P；

(2)椭圆经过点P(－2，0)，Q(0，)．

解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，

∴a＝.

∵b2＝a2－c2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.

(2)由题可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，m＞0)，

将点P(－2，0)，Q(0，)代入得m＝，n＝，

∴椭圆方程为＋＝1.