高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质练习题

课时作业(二十四)　双曲线的几何性质

一、选择题

1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±2x

C．y＝±x   D．y＝±x

答案：C

2．(2021全国甲卷)点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　)

A.  B.　  C.　  D.

答案：A

解析：双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0.由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x±4y＝0的距离为＝.故选A.

3．(2021北京卷)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)

A. x2－＝1   B. －y2＝1

C. x2－＝1   D. －y2＝1

答案：A

解析：∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，

将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，

因此，双曲线的方程为x2－＝1.故选A.

4．(2022广东学业考试)点M(2,0)到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为1，则双曲线的离心率等于(　　)

A．2   B.

C.   D．4

答案：C

5．(2020全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)

A.   B．3

C.   D．2

答案：B

6．(多选题)(2022广东模拟)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误的是(　　)

A．若C为椭圆，则1<t<3

B．若C是双曲线，则其离心率有1<e<

C．若C为双曲线，则t>3或t<1

D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2

答案：AD

解析：对于选项A，若t＝2，方程＋＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，A错．

对于选项B，若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线，e＝＝＝<，1<e<；

若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线，

e＝＝＝<，1<e<，故B正确．

对于选项C，若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；

若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线，故C正确．

对于选项D，若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；

若1<t<2，则0<t－1<3－t，故＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则D错．

故选AD.

7．(多选题)(2020新高考全国卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x

D．若m＝0，n>0，则C是两条直线

答案：ACD

解析：对于A，若m>n>0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m>n>0，所以<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若m＝n>0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，此时曲线C表示双曲线，

由mx2＋ny2＝0可得y＝±x，故C正确；

对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，y＝±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．

故选ACD.

二、填空题

8．(2020全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．

答案：

9．(2021新高考全国卷Ⅱ)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．

答案：y＝±x

解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，

所以e＝＝＝2，所以＝3，

所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故答案为y＝±x.

10．(2022广西柳州模拟)已知P为双曲线C：－＝1(a>b>0)左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，若|MP|＋|PF2|的最小值为|F1F2|，则C的离心率为________．

答案：

三、解答题

11．根据以下条件，求双曲线的标准方程．

(1)过P(3，－)，离心率为；

(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.

解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，

设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．

∵e＝，∴＝2，即a2＝b2，①

又过点P(3，－)，

∴－＝1，②

由①②得a2＝b2＝4，

∴双曲线方程为－＝1.

若双曲线的焦点在y轴上，

设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．

同理有a2＝b2，③

－＝1，④

由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．

综上所述，双曲线的标准方程为－＝1.

(2)由椭圆方程＋＝1，

知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，

半焦距c1＝＝，

所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．

因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，

设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．

由题设条件及双曲线的性质，有

解得

所以双曲线方程为－y2＝1.

12．(2022陕西王益模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，点A(0，b)到渐近线的距离为c.

(1)求双曲线的离心率；

(2)若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，双曲线右支上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求点P的坐标．

解：(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0，

点A(0，b)到渐近线的距离为c，可得＝＝c，

即有2ab＝c2＝a2＋b2，可得a＝b，

c＝a，则e＝＝.

(2)由焦距为4，可得c＝2，a＝b＝，

双曲线的标准方程为－＝1，

双曲线右支上存在一点P(m，n)，m>0，即有m2－n2＝2，

由PF1⊥PF2，可得·＝－1，即有m2＋n2＝4，

解得m＝，n＝±1，则P(，1)或P(，－1)．