数学人教B版 (2019)2.5.1 椭圆的标准方程达标测试

【优质】2.5.1 椭圆的标准方程练习

一．填空题

1．已知圆：和圆：，动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.

2．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴．轴分别交于点，当(为坐标原点）的面积最小时，（是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是_________.

3．平面上到两定点与的距离之和为的动点的轨迹方程为_____.

4．已知椭圆，过原点作一条倾斜角为直线交椭圆于，两点，以线段为直径的圆过右焦点，则椭圆离心率为______．

5．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是________.

6．设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.则椭圆的离心率__________.

7．椭圆的离心率为______.

8．已知，为椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则实数的取值范围是______.

9．已知椭圆内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于和两点，且满足（其中），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为__________.

10．椭圆的短轴长为______.

11．若椭圆的一条弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是__________.

12．已知分别是椭圆的左右焦点，为上一点，的内心为点，过作平行于轴的直线分别交于点，若椭圆的离心率，则_____.

13．椭圆的左焦点为，以为一端点．该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为，最小值记为.若，则_____.

14．已知O为坐标原点，，为椭圆的左右焦点，，点P是位于椭圆C上第一象限的一点，点Q是以为底的等腰三角形内切圆的圆心，过作于点M，，则椭圆的离心率为________.

15．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a＝________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：动圆M的圆心，半径为r，由题意可得，根据椭圆的定义即可求解.

详解：设动圆M的圆心，半径为r，

由题意得，所以，

故M的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，

所以，

所以动圆圆心M的轨迹方程为.

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：先根据题意点处的切线方程为：，进而得，，故，再结合椭圆方程与基本不等式可得，故，当且仅当时，的面积最小.再结合椭圆定义与余弦定理得，进而根据等面积法得，故，进而得.

详解：解：根据题意结合椭圆性质得椭圆在点处的切线方程为：，

由于直线与与轴．轴分别交于点，故，，

所以，

由于，所以，

所以，

当且仅当时，的面积最小.

由于，故在中用余弦定理得：

所以，

所以，

另一方面

所以，即：，

由于，所以

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查焦点三角形的面积求解，椭圆上的点的切线方程，基本不等式，余弦定理等，考查综合分析问题的能力与计算能力，解题的关键在于过椭圆上一点的切线的方程，是难题.

3．【答案】

【解析】记点．，设所求点为，由可得知点的轨迹，进而可得出点的轨迹方程.

详解：记点．，设所求点为，则，

则点的轨迹为线段，即所求动点的轨迹方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题.

4．【答案】

【解析】分析：设，，直线的方程与椭圆方程联立，求出，

由题意可知， 所以，代入数量积的坐标表示，转化为关于的齐次方程，再求离心率即可.

详解：由题意可得：直线的方程为，设，，

以线段为直径的圆过右焦点，则， 所以，

将代入得：，

则，，

所以

，

整理可得：，因为，

所以，

即，即，解得 或

所以或（舍），

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是由以线段为直径的圆过右焦点，可得， 即，代入数量积的坐标表示，因此需要联立直线与椭圆的方程得出，，

即可得出的齐次方程，即可求解.

5．【答案】

【解析】分析：由椭圆标准方程特点可构造不等式组求得结果.

详解：由椭圆标准方程的特点知：，解得：且，

的取值范围为.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】由可得，利用向量坐标运算可得到，由斜率可得关系，根据椭圆关系可求得关系，进而得到椭圆离心率.

详解：设，由得：，

，解得：，即，

，解得：，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够根据线段长度关系求得坐标，结合直线斜率得到椭圆的关系.

7．【答案】

【解析】分析：根据椭圆方程，结合椭圆的性质求出，进而可求椭圆的离心率.

详解：因为椭圆方程为，

所以，

所以离心率，

故答案为：.

8．【答案】

【解析】讨论椭圆焦点的位置，保证焦点三角形顶角为钝角或直角即可.

详解：当焦点在轴上时，，，，

当为上下顶点时，最大，∴，，∴，

解得；

同理，当焦点在轴上时，，解得.

∴实数的取值范围是，

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的应用，考查分类讨论思想，计算能力逻辑思维能力，考查转化思想，属于中档题．

9．【答案】

【解析】分析：设，

由共线向量的坐标运算，得，由点差法结合直线的斜率得出，两者比较可得的等式，从而求得离心率．

详解：设，

∵，∴，

则，∴，同理，

∴，∴，

∵在椭圆上，∴，，

相减可得，即，

则①，同理可得②，

①+②得，

又，

∴，∴，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求椭圆的离心率，向量的坐标运算，设出四点坐标，由点差法利用斜率得出四点的坐标间的关系，由向量的坐标运算得出四点的坐标间的关系，两者比较后得的等量关系，从而求得离心率．本题旨在考查学生运算求解能力，属于中档题．

10．【答案】

【解析】分析：将椭圆，转化为标准方程求解.

详解：由椭圆方程可化为，

∴，，

∴

∴短轴长.

故答案为：

11．【答案】

【解析】设弦的两个端点的坐标分别为，代入椭圆的方程，两式相减求得直线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解.

详解：设弦的两个端点的坐标分别为，则，

两式相减可得，

所以，

即弦所在直线的斜率为，直线方程为，

整理得，

即弦所在的直线方程是.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的几何性质，以及利用“点差法”求解过中点的直线方程，其中解答中熟记中点弦的性质，合理利用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

12．【答案】

【解析】根据椭圆的离心率可知，根据椭圆的定义可知的周长为，设的内切圆半径为，点，利用（为周长的一半），可得，再根据，即可求出结果.

详解：设椭圆的焦距为，

由题设，所以，

由椭圆的定义可知，，，

的周长为，

设的内切圆半径为，点.

又.

设为周长的一半，则，

所以，得，

由题意可知，得.

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系和椭圆的性质，属于中档题.

13．【答案】

【解析】由椭圆的几何性质得，，结合条件可求得实数的值.

详解：由题意可知，，，

由椭圆的几何性质知，，，即，

可得，即，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.

14．【答案】

【解析】分析：延长交延长线于点，可得，为的中位线，从而可得，，再由椭圆的定义可求出的值，由即可求出椭圆的离心率.

详解：

因为，即，所以，

因为点Q是以为底的等腰三角形内切圆的圆心，

所以为的角平分线，延长交延长线于点，

在与中，，所以,

所以，，所以为的中点，又为的中点，

所以为的中位线，所以，所以，

所以，所以，所以.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是求出的值．本题中利用三角形全等及三角形中位线，求出．，再利用椭圆的定义求出．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．

15．【答案】1

【解析】由双曲线可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.

点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．