高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程练习题

【优质】2.5.1 椭圆的标准方程课时练习

一．填空题

1．已知椭圆的左焦点为，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为________．

2．点P为椭圆的上的动点，，，则的最大值为___________．

3．已知点P是左？右焦点分别为F1，F2的椭圆C：(a>b>0)上的一点，且A是∠与∠的角平分线的交点，且，若椭圆C的离心率为，则___________.

4．已知椭圆的离心率为，右焦点为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边．．的中点分别为．．，且三条边所在直线的斜率分别为.若直线．．的斜率之和为-1（为坐标原点），则______.

5．已知椭圆的左．右焦点分别为，为椭圆上的动点，若动点满足且，则点到双曲线一条渐近线距离的最大值为______.

6．设圆锥的底面直径与其母线等长，用一个与圆锥底面成30°夹角的平面去截圆锥，所得截口曲线是椭圆，则该椭圆的离心率为______.

7．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围为________．

8．已知椭圆：的两个焦点分别为，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点，，则的周长是______.

9．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴．轴分别交于点，当(为坐标原点）的面积最小时，（是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是_________.

10．平面上到两定点与的距离之和为的动点的轨迹方程为_____.

11．已知．是椭圆：（）的两个焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为，椭圆的离心率为，则椭圆的方程为______.

12．椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得为等腰钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是__________．

13．已知椭圆，过原点作一条倾斜角为直线交椭圆于，两点，以线段为直径的圆过右焦点，则椭圆离心率为______．

14．椭圆的一个焦点是，则____________.

15．设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.则椭圆的离心率__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，由及椭圆的性质可得，，,结合勾股定理可得离心率的值.

详解：取椭圆的右焦点，连接，，由椭圆的对称性，可得四边形'为平行四边形，则，，

，而，所以，所以，

在中，，解得：，

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到，所以，然后在中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．

2．【答案】11

【解析】分析：由椭圆的定义可得，则，即可得出结果.

详解：由题知，点N为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为，

所以，

所以，

又因为，

所以的最大值为．

故答案为：11.

3．【答案】6

【解析】分析：由角平分线交点得是三角形内心，由向量的关系，取中点，可得，得三点共线，．由三点共线，得三角形是等腰三角形，，利用离心率和椭圆定义可求得，然后作轴于，，且，从而可求得．

详解：A是∠与∠的角平分线的交点，∴是的内切圆的圆心，设是中点，连接，如图，则，

由得，

∴三点共线，，∴．

由既是角平分线，又是中线，得，，∴，，又，∴，

作轴于，则，且，

∴，∴，解得．

故答案为：6.

【点睛】

本题考查椭圆中焦点三角形的性质，解题关键是利用向量的线性运算得出三角形是等腰三角形，结合离心率，椭圆的定义从而可把焦点三角形的三边长用表示，再构造相似三角形，已知比值得出结论，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，转化与化归能力，逻辑思维能力，属于中档题．

4．【答案】2

【解析】求出椭圆的方程，利用“点差法”求得直线的斜率，同理即可求得

详解：由题意可得，，所以，，

所以椭圆的标准方程为，

设，，，，

由 ，

两式作差可得，

则，

而，故，即，

同理可得，，

所以.

故答案为：2

【点睛】

本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.

5．【答案】

【解析】分析：由题意结合椭圆定义求得的轨迹，求出双曲线的一条渐近线方程，再求出到渐近线的距离，则答案可求．

详解：椭圆的则，若动点Q满足且，

则三点共线，且同向，由，

所以Q的轨迹为以为圆心，6为半径的圆，

双曲线的一条渐近线方程设为，

由圆心到渐近线的距离为，

所以点到双曲线一条渐近线距离的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆与双曲线的综合，考查动点的轨迹的求法和点到直线距离公式的应用，考查圆上的点到直线的距离的最大值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

6．【答案】

【解析】分析：如图，将底面圆绕点向上旋转30°与圆锥的公共部分即为椭圆，设，则根据题意可得出，，即可求出离心率.

详解：考虑将底面圆绕点向上旋转30°与圆锥的公共部分即为椭圆，

设椭圆长轴为，短轴为，焦距为，

∵，

∵，∴，不妨设，

则，

设中点为，作于点，

即，，，

距圆锥底面的平面（圆）离圆心距离为的弦长为短轴长，设圆的半径为，

则有，

∴，∴，

∴.

【点睛】

本题考查圆锥里的椭圆离心率问题，解题的关键是正确理解椭圆长轴短轴的定义，正确构造圆锥中的等量关系.

7．【答案】

【解析】分析：将方程化为标准形式，解不等式组即可得解.

详解：化成椭圆标准形式得，

根据其表示焦点在x轴上的椭圆，

得

解得．

故答案为：

8．【答案】8

【解析】分析：根据椭圆的定义可求的周长.

详解：的周长为，

故答案为：8.

9．【答案】

【解析】分析：先根据题意点处的切线方程为：，进而得，，故，再结合椭圆方程与基本不等式可得，故，当且仅当时，的面积最小.再结合椭圆定义与余弦定理得，进而根据等面积法得，故，进而得.

详解：解：根据题意结合椭圆性质得椭圆在点处的切线方程为：，

由于直线与与轴．轴分别交于点，故，，

所以，

由于，所以，

所以，

当且仅当时，的面积最小.

由于，故在中用余弦定理得：

所以，

所以，

另一方面

所以，即：，

由于，所以

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查焦点三角形的面积求解，椭圆上的点的切线方程，基本不等式，余弦定理等，考查综合分析问题的能力与计算能力，解题的关键在于过椭圆上一点的切线的方程，是难题.

10．【答案】

【解析】记点．，设所求点为，由可得知点的轨迹，进而可得出点的轨迹方程.

详解：记点．，设所求点为，则，

则点的轨迹为线段，即所求动点的轨迹方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题.

11．【答案】

【解析】分析：由的周长为知，再根据离心率得，…，进而可得答案.

详解：因为的周长为，故，

由得，

故，

所以椭圆的方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键注意到的周长为，进而求解.

12．【答案】

【解析】分析：结合图形分析只可能为钝角，利用和可得答案.

详解：因为，且，所以，所以在点右侧且在椭圆的外部，

所以不可能为钝角，

若为钝角，设的中点为，的横坐标为，则，

应有，即垂直平分，

，而

，

所以不可能为钝角，

结合图形可知，只可能，且，而，，当垂直轴时，，所以，

得，所以，得，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了椭圆的性质，解题的关键点是分类讨论和转化思想的应用，考查了推理能力与计算能力.

13．【答案】

【解析】分析：设，，直线的方程与椭圆方程联立，求出，

由题意可知， 所以，代入数量积的坐标表示，转化为关于的齐次方程，再求离心率即可.

详解：由题意可得：直线的方程为，设，，

以线段为直径的圆过右焦点，则， 所以，

将代入得：，

则，，

所以

，

整理可得：，因为，

所以，

即，即，解得 或

所以或（舍），

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是由以线段为直径的圆过右焦点，可得， 即，代入数量积的坐标表示，因此需要联立直线与椭圆的方程得出，，

即可得出的齐次方程，即可求解.

14．【答案】10

【解析】分析：由题可得，求出即可.

详解：由题可得椭圆的焦点在轴上，

，解得.

故答案为：10.

15．【答案】

【解析】由可得，利用向量坐标运算可得到，由斜率可得关系，根据椭圆关系可求得关系，进而得到椭圆离心率.

详解：设，由得：，

，解得：，即，

，解得：，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够根据线段长度关系求得坐标，结合直线斜率得到椭圆的关系.