人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程学案设计

椭圆的标准方程

天文学家是如何计算出日食(月食)出现的准确时间呢？

原来，地球(月球)运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周长．

[问题]　(1)给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？

(2)在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？

知识点一　椭圆的定义

如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．

椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

提示：2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

知识点二　椭圆的标准方程

1．确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？

提示：a，b的值及焦点所在的位置．

2．根据椭圆方程，如何确定焦点位置？

提示：把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的坐标轴上．

1．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m的值为(　　)

A．1　　　　　　　　  B．2

C．4     D．6

答案：C

2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)

A．4     B．5

C．8     D．10

答案：D

3．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________．

答案：＋＝1或＋＝1

[例1]　(链接教科书第126页例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；

(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝.

[解]　(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).

∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).

由椭圆的定义，知2a＝ ＋

＝＋＝2，

∴a＝.

又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①

又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，

∴b2＝2，∴a2＝8.

又∵椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面

(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，即焦点的位置由x2，y2项系数分母的大小决定，焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上；

(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　　　　

[跟踪训练]

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)经过两点(2，－)，；

(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．

解：(1)法一(分类讨论法)：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).

由已知条件得解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).由已知条件得解得

则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去．

综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.

法二(待定系数法)：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).将两点(2，－)，代入，得解得

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为

＋＝1(a>b>0).

因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①

又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，

即＋＝1.②

由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为

＋＝1.

[例2]　(链接教科书第128页练习B2题)(1)椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________；

(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________．

[解析]　(1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.

又∵|AB|＝|AF1|＋|BF1|，

∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.

故△ABF2的周长为4×5＝20.

(2)由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，

∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，

∴cos ∠F1PF2＝＝，

∴∠F1PF2＝60°.

[答案]　(1)20　(2)60°

椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a；

(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　

[跟踪训练]

1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆的标准方程为____________．

解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

答案：＋＝1

2．如果椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是________．

解析：由题意知a＝10，|PF1|＝6，

由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，

所以|PF2|＝20－|PF1|＝20－6＝14.

答案：14

[例3]　(链接教科书第127页例2)求过点P(3，0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．

[解]　圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.

又P(3，0)，C1(－3，0)，且|PC1|＝6<10.可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3，2a＝10，

所以a＝5，从而b＝4，

故所求的动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.

定义法求椭圆标准方程的策略

利用椭圆的定义求轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是不是常数，且该常数(定值)大于两定点的距离，求出轨迹方程后，要检验方程上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在方程后注明．　

[跟踪训练]

已知B，C是两个定点，顶点A为动点，|BC|＝6，且△ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程．

解：如图所示，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(x，y)，由题意知：

B(－3，0)，C(3，0)，|AB|＋|AC|＋|BC|＝16.

又|BC|＝6，

∴|AB|＋|AC|＝10.

∵|AB|＋|AC|＞|BC|，

∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆．

易知a＝5，c＝3，则b＝4，

又A，B，C构成三角形，

∴点A，B，C不共线，∴x≠±5.

∴点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±5).

1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．5　　　　　　　　  B．6

C．7     D．8

解析：选D　由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.

2．到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是(　　)

A．椭圆     B．线段

C．圆     D．以上都不对

解析：选B　|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2.

3．椭圆＋＝1的焦距为________．

解析：由椭圆方程得a2＝32，b2＝16，∴c2＝a2－b2＝16.

∴c＝4，2c＝8.

答案：8

4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是______．

解析：由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，故△ABF2的周长等于|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝16.

答案：16

5．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是________．

解析：|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，

∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1