数学选择性必修 第一册2.4 曲线与方程复习练习题

课时作业(二十)　曲线与方程

一、选择题

1．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9表示的曲线上，则k等于(　　)

A．±3   B．0

C．±2   D．一切实数

答案：A

2．(2022广东横岗模拟)方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是(　　)

A．前后两者都是一条直线和一个圆

B．前后两者都是两点

C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点

D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆

答案：C

3．已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满足的方程是(　　)

A．x2＋y2＝1

B．x2＋y2＝1(x≠±1)

C．x2＋y2＝1(x≠0)

D．y＝(x≠±1)

答案：B

4．(2022山东聊城月考)下列命题正确的是(　　)

A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线

B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2，0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0

C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5

D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0

答案：D

解析：对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，因而只有D是正确的．

5．(多选题)若曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是    (　　)

A．(0,0)    B．(7,15)    C．(2,3)     D．(4,7)

答案：CD

解析：由曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，

得A，B项中的横坐标不满足题意；

因为3＝2×2－1，故(2,3)在曲线C上，C正确；

因为7＝2×4－1，故(4,7)在曲线C上，D正确．

6．(多选题)(2022江苏扬州中学月考)在平面直角坐标系中，曲线C上任意一点P与两个定点A(－2,0)和B(2,0)连线的斜率之和恒等于2，则关于曲线C的结论正确的是　　　(　　)

A．曲线C是轴对称图形

B．曲线C上所有的点都在圆x2＋y2＝2外

C．曲线C是中心对称图形

D．曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2

答案：BC

解析：设P(x，y)，依题意有＋＝2，整理，得x2＝xy＋4，于是曲线C的方程为y＝x－(x≠0，x≠±2)，所以曲线C不是轴对称图形，而是中心对称图形，原点是它的对称中心，因此A选项错误，C选项正确；又因为x2＋y2＝x2＋2＝2x2＋－8≥2－8＝8－8>2，所以曲线C上所有的点都在圆x2＋y2＝2外，故B选项正确；代入点(1，－3)，得－3＝1－，所以点(1，－3)在曲线C上，但其横坐标的绝对值不大于2，故D选项错误．故选BC.

7．(多选题)(2022山东烟台模拟)已知到两定点M(－2,0)，N(2,0)距离乘积为常数16的动点P的轨迹为C，则(　　)

A．C一定经过原点

B．C关于x轴、y轴对称

C．△MPN的面积的最大值为4

D．C在一个面积为64的矩形内

答案：BCD

解析：设点P的坐标为(x，y)，

由题意可得·＝16.

对于A，将原点坐标代入方程得2×2＝4≠16，所以A错误；

对于B，设点P关于x轴、y轴的对称点分别为P1(x，－y)，P2(－x，y)，

因为·

＝·＝16，

·

＝·＝16，

则点P1，P2都在曲线C上，

所以曲线C关于x轴、y轴对称，B正确；

对于C，设|PM|＝a，|PN|＝b，∠MPN＝θ，则ab＝16，

由余弦定理得cos θ＝＝≥＝，

当且仅当a＝b＝4时等号成立，则θ∈，

所以sin θ＝≤，

则△MPN的面积为S△MPN＝absin θ≤×16×＝4，C正确；

对于D,16＝·≥

·＝|x2－4|，

可得－16≤x2－4≤16，得x2≤20，

解得－2≤x≤2，

由C知，S△MPN＝|MN|·|y|＝×4×|y|≤4，得|y|≤2，

曲线C在一个面积为4×4＝16<64的矩形内，D正确．

故选BCD.

二、填空题

8．直线y＝kx＋1与y＝2kx－3(k为常数，且k≠0)交点的轨迹方程是________.

答案：y＝5(x≠0)

解析：y＝kx＋1与y＝2kx－3联立，消去k，得y＝5.由y＝kx＋1＝5，得kx＝4.∵k≠0，∴x≠0.故所求的轨迹方程为y＝5(x≠0)．

9．(2022浙江桐乡模拟)一动圆截直线3x－y＝0和3x＋y＝0所得弦长分别为8,4，则该动圆圆心的轨迹方程为_______________．

答案：xy＝10

三、解答题

10．(2022安徽庐阳月考)已知曲线C是动点M到两个定点O(0,0)，A(3,0)距离之比为的点的轨迹.

(1)求曲线C的方程；

(2)求过点N(1,3)且与曲线C相切的直线方程．

解：(1)在给定的坐标系里，设点M(x，y)．

由＝及两点间的距离公式，得

＝，①

将①式两边平方整理得x2＋y2＋2x－3＝0，

即所求曲线方程为x2＋y2＋2x－3＝0.

(2)由(1)得曲线C的方程为(x＋1)2＋y2＝4，其圆心为C(－1,0)，半径为2.

(ⅰ)当过点N(1,3)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，显然与圆相切；

(ⅱ)当过点N(1,3)的直线的斜率存在时，设其方程为y－3＝k(x－1)，

即kx－y＋3－k＝0.

由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，即

＝2，

解得k＝，

此时直线方程为5x－12y＋31＝0，

所以过点N(1,3)且与曲线C相切的直线方程为x＝1或5x－12y＋31＝0.

11．(2022山东潍坊质检)在平面直角坐标系xOy中，①已知点M(2,0)，N(5,0)，P(x，y)为曲线C上任一点，P到点M的距离和到点N的距离的比值为2；②圆C经过A(4,0)，B(6,2)，且圆心在直线x－y－6＝0上．从①②中任选一个条件．

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线x＝ay＋4被曲线C截得弦长为2，求a的值．

解：(1)选择条件①，

则＝2，即＝2，

所以＝4，

整理得x2＋y2－12x＋32＝0，即(x－6)2＋y2＝4.

选择条件②，

A(4,0)，B(6,2)的中点为E(5,1)，kAB＝＝1，

所以AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0，

所以解得圆心C(6,0)．

r＝|CA|＝2，所以曲线C的方程为(x－6)2＋y2＝4.

(2)直线x＝ay＋4被曲线C截得弦长为2，圆心到直线的距离d＝＝.

由点到直线的距离公式得＝，

解得a＝±.