第二章第九课时2.4.1圆的标准方程课中-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

2.2.3  直线的一般式方程

学习目标：

1．掌握直线的一般式方程．

2．理解关于，的二元一次方程（，不同时为0）都表示直线．

3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．

方法要点：

1．求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．

2．含参直线方程的研究策略

（1）若方程表示直线，则需满足，不同时为0．

（2）令可得在轴上的截距．令可得在轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．

（3）解分式方程要注意验根．

3．一般式下，两直线平行与垂直的判定如下：

设直线与的方程分别为（，不同时为0），（，不同时为0），

则．

．

典型例题：

题组一、直线的一般式方程

例1  根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：

（1）斜率是，且经过点；

（2）经过点，两点；

（3）在轴，轴上的截距分别为，；

（4）经过点，且平行于轴．

变式（1）根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．

①斜率是，且经过点的直线方程为________；

②在轴和轴上的截距分别是和的直线方程为________；

③经过点，的直线方程为________．

（2）直线绕它与轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程是（    ）

A．     B．      C．     D．

题组二、直线的一般式方程的应用

例2  设直线的方程为．

（1）已知直线在轴上的截距为，求的值；

（2）已知直线的斜率为1，求的值．

变式（1）若直线在轴和轴上的截距相等，则________．

（2）已知为直线的方程，求证：不论取何实数，直线必过定点，并求出这个定点的坐标．

题组三、一般式下直线的平行与垂直的问题

例3  已知直线，，分别求满足下列条件的的值．

（1）；

（2）．

当堂检测：

1．直线化成一般式方程为（    ）

A．      B．      C．   D．

2．在直角坐标系中，直线的倾斜角是（    ）

A．              B．                C．             D．

3．若方程表示直线，则，应满足的条件为（    ）

A．             B．             C．          D．

4．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（    ）

A．             B．              C．              D．

5．若直线的倾斜角是，则实数的值是________．

参考答案

典型例题：

例1．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】

【分析】

【详解】（1）由点斜式，得直线方程为，

即．

（2）由两点式，得直线方程为，

即．

（3）由截距式，得直线方程为，

即．

（4）．

变式【答案】（1）①  ②  ③；（2）D

【解析】

【分析】

【详解】（1）①  ②  ③

（2）直线与轴的交点为，

∵所求直线过点且斜率为，

∴所求直线的方程为，即．

例2．【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

【详解】（1）由题意知，即且，令，则，

∴，得或（舍去）．

∴．

（2）由题意知，，即且．

由直线化为斜截式方程

得，

则，

得或（舍去）．

∴．

变式．【答案】（1）1；（2）经过定点，证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】（1）由题意知，当时，；

当时，，

∵，∴．

（2）整理直线的方程得．无论取何值，该式恒成立，

所以，

解得．

所以直线经过定点．

例3．【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

【详解】（1）∵，∴，

∴．

（2）∵，∴，

∴或，

当时，；

当时，与重合，不符合题意，舍去．

∴．

当堂检测

1．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

2．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】直线斜率，所以倾斜角为，故选C．

3．【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】方程表示直线的条件为，不能同时为0，即．

4．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】可化为，所以直线过定点．

5．【答案】3

【解析】

【分析】

【详解】由已知得，∴．