数学第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程当堂达标检测题

第二章 平面解析几何

2.2直线及其方程

2.2.2 直线的方程

知识梳理

1.直线与方程

一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解，而且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)=0的直线.此时，为了简单起见，“直线l”也可说成“直线F(x，y)=0”，并且记作l:F(x，y)=0.

2.直线的点斜式方程

3.直线的斜截式方程

点睛：（1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别.

（2）直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然.因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.

4.直线的两点式方程

点睛：（1）若直线l过点A(0，b)，B(a，0)，且ab≠0，则直线l的方程可利用两点式得出并化简为=1的形式，这一方程形式可以称之为直线的截距式方程，其中a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距.

（2）若直线l的方程为=1，则

①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+；

②直线与坐标轴围成的三角形的面积为S=|ab|；

③当直线在两坐标轴上的截距相等时，直线l的斜率k=-1，

故常设直线方程为x+y=a.

5.直线的一般式方程

所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式，其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般称为直线的一般式方程.

常见考点

考点一 直线的点斜式方程

典例1．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（       ）

A． B． C． D．

变式1-1．经过点（1，2），且倾斜角为45°的直线方程是（ 　）

A．y＝x﹣3 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣3 D．y＝﹣x+3

变式1-2．过点，斜率为2的直线方程是（       ）

A． B． C． D．

变式1-3．直线l的点斜式方程为，则（       ）．

A．直线l过点，斜率为 B．直线l过点，斜率为

C．直线l过点，斜率为2 D．直线l过点，斜率为2

考点二 直线的斜截式方程

典例2．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　）

A． B．

C． D．

变式2-1．已知直线经过第二、三、四象限，则有（       ）

A．， B．，

C．， D．，

变式2-2．若直线的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（       ）．

A．， B．，

C．， D．，

变式2-3．在同一直角坐标系中，表示直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能正确的是（       ）

A． B．

C． D．

考点三 直线的两点式方程

典例3．已知直线过点，，则直线的方程为（       ）

A． B． C． D．

变式3-1．经过点的直线方程是（       ）

A． B．

C． D．

变式3-2．经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（       ）

A．－1 B．1

C．－ D．

变式3-3．一束光线经过点由x轴反射后，经过点射出，则反射光线所在直线方程是______．

考点四 直线的截距式方程

典例4．过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

变式4-1．过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

变式4-2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(       )

A． B．

C．或 D．或

变式4-3．直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是（       ）

A． B．

C．或 D．或

考点五 直线的一般式方程

典例5．直线在轴上的截距是（       ）

A． B． C． D．

变式5-1．直线的倾斜角是（       ）

A． B． C． D．

变式5-2．已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（       ）

A． B． C． D．

变式5-3．直线经过一、三、四象限的充要条件是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

考点六 直线恒过定点

典例6．直线恒过定点（       ）

A． B． C． D．

变式6-1．不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

变式6-2．不论k为何值，直线恒过定点（       ）

A． B． C． D．

变式6-3．方程所表示的直线恒过（       ）

A．定点 B．定点

C．点和点 D．点和点

考点七 直线的对称问题

典例7．已知点关于直线l的对称点为，求直线l的方程．

变式7-1．1.已知，直线：

(1)直线关于点A的对称直线的方程；

(2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程.

变式7-2．已知直线l：x+2y-2=0．试求：

（1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；

（2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程．

变式7-3．分别求直线关于轴、轴对称的直线的方程．

巩固练习

练习一 直线的点斜式方程

1．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（       ）

A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)

C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)

2．过点且倾斜角为的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

3．已知直线的斜率为3，且经过点A(2，1)，则的点斜式方程为（       ）

A． B．

C． D．

4．经过点且倾斜角为的直线方程为（       ）

A． B． C． D．

练习二 直线的斜截式方程

5．设直线y＝2x＋1的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（       ）

A．k＝-，b＝1 B．k＝-，b＝- C．k＝-2，b＝ D．k＝2，b＝1

6．直线在轴上的截距为1，且斜率为，则直线的方程为（       ）

A． B． C． D．

7．已知直线：，则直线经过哪几个象限（       ）

A．一、二、三象限 B．一、二、四象限

C．二、三、四象限 D．一、三、四象限

8．直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（       ）

A．，                      B．，

C．，                      D．，

练习三 直线的两点式方程

9．过两点的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

10．经过点的直线的方程是（       ）

A． B． C． D．

11．已知直线的两点式方程为，则的斜率为（       ）

A． B． C． D．

12．光线由点射到轴后，经过反射过点，则反射光线方程是（ ）

A． B．

C． D．

练习四 直线的截距式方程

13．过点作直线l，满足在两坐标轴上截距相等的直线l有（       ）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

14．过点P（2，3），且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是（       ）

A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0 

C．2x＋3y－13＝0      D．2x－3y＋13＝0

15．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（       ）

A． B．或

C． D．或

16．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

练习五 直线的一般式方程

17．直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

18．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（       ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

19．过点斜率为－3的直线的一般式方程为（          ）

A． B．

C． D．

20．若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

练习六 直线恒过定点

21．直线所过定点的坐标为（     ）

A． B． C． D．

22．对任意的实数，直线恒过定点（       ）

A． B． C． D．

23．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（       ）

A．                            B．

C．                            D．

24．不论m为何值，直线恒过定点（       ）

A． B．

C． D．

练习七 直线的对称问题

25．点关于直线的对称点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

26．已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

27．与直线2x-y+1=0关于y轴对称的直线方程为（       ）

A．2x+y+1=0 B．2x-y-1=0 C．2x+y-1=0 D．x-2y-1=0

28．直线关于对称直线，直线的方程是（       ）

A． B．

C． D．