人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程巩固练习

第二章 平面解析几何几何

2.6双曲线及其方程

2.6.1 双曲线的标准方程

知识梳理

1.双曲线的定义：

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)若a<c，则集合P为双曲线；

(2)若a＝c，则集合P为两条射线；

(3)若a>c，则集合P为空集.

注意：概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于” 

在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关

2.双曲线的标准方程：

焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；

焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,).

常见考点

考点一 双曲线定义及辨析

典例1．已知，，若点满足，则P点的轨迹为（       ）

A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．一条射线

变式1-1．已知两定点，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是（   ）

A． B．

C． D．

变式1-2．已知定点，且，动点满足，则点的轨迹为（       ）

A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线

变式1-3．已知动点满足，则动点的轨迹是（       ）

A．椭圆 B．双曲线

C．双曲线的左支 D．双曲线的右支

考点二 双曲线上点到焦点的距离及最值

典例2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（       ）

A． B． C．或 D．或

变式2-1．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点．若，则（       ）

A．4 B．6 C．8 D．12

变式2-2．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（       ）

A．19 B．25 C．37 D．85

变式2-3．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

考点三 双曲线上焦点三角形的周长与面积问题

典例3．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ）

A．24 B． C． D．30

变式3-1．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（       ）．

A． B． C． D．

变式3-2．双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（       ）．

A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m

变式3-3．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（       ）

A．8 B．9 C．10 D．

考点四 双曲线上点到焦点和定点距离的和差最值

典例4．已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（       ）

A．3 B．1 C． D．

变式4-1．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（       ）

A．9 B．8 C．7 D．6

变式4-2．已知是双曲线：的右焦点，为右支上一点，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．2

变式4-3．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（       ）

A．6 B．7 C． D．5

考点五 根据方程表示双曲线求参数的范围

典例5．若方程表示的是双曲线，则t的取值范围是（       ）

A．     B．          C．  D．

变式5-1．若方程表示双曲线，则（       ）

A．          B．          C．         D．

变式5-2．“”是“为双曲线”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

变式5-3．已知，则“”是“方程表示双曲线”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

考点六 求双曲线的标准方程

典例6．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（       ）

A． B． C． D．

变式6-1．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（       ）

A． B． C． D．

变式6-2．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

变式6-3．已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（       ）

A． B． C． D．

考点七 定义法求双曲线的轨迹方程

典例7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（       ）

A．      B．      C．      D．

变式7-1．已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（       ）

A． B． C． D．

变式7-2．动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（       ）

A． B．

C． D．

变式7-3．动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（       ）

A． B． C． D．

巩固练习

练习一 双曲线定义及辨析

1．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（       ）

A． B．

C． D．

2．已知，动点P满足，则P点的轨迹是

A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线

3．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（       ）

A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线

4．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是

A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支

练习二 双曲线上点到焦点的距离及最值

5．是双曲线：上一点，已知，则的值（       ）

A． B． C．或 D．

6．已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（       ）

A．1或13 B．1 C．13 D．9

7．如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（       ）

A．3 B．4 C．6 D．8

8．是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

练习三 双曲线上焦点三角形的周长与面积问题

9．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ）

A． B． C． D．

10．已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（       ）

A．8 B．16 C．24 D．

11．设点在双曲线上，若､为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（       ）

A． B． C． D．

12．已知，分别为双曲线的左右焦点，过作一条直线l与双曲线的右支交于P，Q两点，若，则的周长为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．14

练习四 双曲线上点到焦点和定点距离的和差最值

13．已知双曲线的左焦点为，M为C右支上任意一点，D的坐标为，则的最大值为（       ）．

A．3 B．1 C． D．

14．是双曲线右支上一点，是其右焦点，点，则的最小值是

A．3 B．6 C．16 D．19

15．已知定点，是双曲线的右焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

16．已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（       ）

A．9 B．8 C．7 D．6

练习五 根据方程表示双曲线求参数的范围

17．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

18．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（       ）

A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5

19．已知，则“”是“方程表示双曲线”的（       ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

20．“”是“方程双曲线”的（       ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

练习六 求双曲线的标准方程

21．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为(　　)．

A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．

22．已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是

A． B． C． D．

23．已知点A(－1，0)，B(1，0)为双曲线 (a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为（       ）

A．x2－＝1 B．x2－＝1

C．x2－＝1 D．x2－y2＝1

24．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（       ）

A． B． C． D．

练习七 定义法求双曲线的轨迹方程

25．设是圆上一动点，点的坐标为，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（       ）

A． B．

C． D．

26．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（       ）

A．（） B．（）

C． D．

27．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（       ）

A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1

C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1

28．已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（       ）

A． B． C． D．