数学选择性必修 第一册2.4 曲线与方程练习

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第二章 平面解析几何几何
2.4曲线与方程
知识梳理
一 曲线方程的定义
在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程上的解为坐标的点都在曲线上；
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
二 求轨迹方程的基本流程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
1．五种轨迹方程求法：
（1）直接法：当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；
（2）定义法：当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；
（3）代入法（相关点法）：当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法；
（4）消参法：求动点轨迹方程时借助中间参量得到横纵坐标关系，进一步得到方程；
（5）交轨法：求两条动曲线交点轨迹方程时可由方程直接消去参数，得到轨迹方程。
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
（2）列出关于的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．


常见考点
考点一 曲线与方程的概念、点与曲线的位置关系
典例1．已知命题“方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题，则下列命题正确的是（       ）.
A．曲线C上的点的坐标都是方程的解；
B．坐标不满足方程的点不在曲线上；
C．曲线C是方程的曲线；
D．不是曲线C上的点的坐标，一定不满方程.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据曲线与方程的定义来解题即可.
【详解】
因为方程的解为坐标的点都是曲线C上的点，
不妨取方程，曲线取双曲线对应的曲线，
则，双曲线的左支上的点的坐标不满足方程，故A错误；
双曲线的左支上的点的坐标不满足方程，但该点在双曲线上，故B错误；由曲线与方程的定义可知，C选项错误；
因为以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查曲线与方程的定义，属于概念辨析题.
变式1-1．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（ ）
A．曲线上的点的坐标都适合方程
B．不在上的点的坐标必不适合
C．凡坐标不适合的点都不在上
D．不在上的点的坐标有些适合，有些不适合
【答案】B
【解析】
【分析】
根据曲线与方程的概念，可以举具体函数来说明选项的正确与错误，进而可得答案．
【详解】
根据题意可以举例方程为，曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分，结合选项知A，C，D都不正确，只有B正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了曲线与方程的概念，对于选择题可以举例说明，属基础题．
变式1-2．设曲线和的交点为P，那么曲线必定（       ）
A．经过P点 B．经过原点
C．不一定经过P点 D．经过P点和原点
【答案】A
【解析】
【分析】
根据交点的性质，运用代入法进行判断即可.
【详解】
设曲线和的交点为P的坐标为，
因此有且，因此，
所以曲线必定经过P点，
故选：A
变式1-3．若点在曲线上，则实数a的值等于（       ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将点的坐标代入到方程可得选项．
【详解】
由已知得，解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查曲线上的点与方程的解的关系，属于基础题．

考点二 由方程求曲线的图形
典例2．方程所表示的曲线为（       ）
A．射线 B．直线
C．射线或直线 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
将方程化为或，由此可得所求曲线.
【详解】
由得：或，即或，
方程所表示的曲线为射线或直线.
故选：C.
变式2-1．方程表示的曲线是（       ）
A．圆 B．半圆与一条直线 C．一条直线 D．两条直线
【答案】D
【解析】
【分析】
由等价于或，进而可以判断表示的曲线.
【详解】
因为，即，所以或，因此表示的曲线是两条直线，
故选：D.
变式2-2．方程y＝表示的曲线是（       ）
A．一个圆 B．两条射线
C．半个圆 D．一条射线
【答案】C
【解析】
【分析】
把方程两边平方，注意变量的取值范围，可得选项．
【详解】
由得，即，∴曲线表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆．
故选：C.
【点睛】
易错点睛：把方程变形化为圆的标准方程（或直线的一般方程），但在变化过程中要注意变量取值范围的变化，如本题有，因此曲线只能是半圆，对直线可能是射线也可能线段，这与变量取值范围有关．
变式2-3．方程表示的曲线是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设判断方程对应曲线所在的象限即可.
【详解】
由可知，对应的曲线在一、三象限.
故选:B
考点三 由方程研究曲线的性质
典例3．方程所表示的曲线（       ）．
A．关于y轴对称 B．关于直线对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入方程，若方程不变，则方程所表示的曲线分别关于y轴，直线y=-x原点及y=x对称，即可得出结论.
【详解】
将 代原方程 ，故A错误；
将代入方程，即 ，故B错误；
将 代入原方程 ，即 ，故C正确；
将代入原方程，故D错误.
故选：C
变式3-1．方程表示的曲线关于（     ）
A．直线对称 B．坐标原点对称 C．轴对称 D．轴对称
【答案】B
【解析】
【分析】
由点，点都在曲线上得出答案.
【详解】
设点在曲线上，则点也在曲线上
因为点与点关于原点对称，所以方程表示的曲线关于坐标原点对称.
故选：B
变式3-2．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（　　）对称
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x
【答案】B
【解析】
【分析】
将x换为﹣x，y不变，将y换为﹣y，x不变，将x换为﹣x，y换为﹣y，将x换为y，y换为x，判断变化后的方程与原方程的关系，从而得到结论.
【详解】
曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，
将x换为﹣x，y不变，原方程化为x2+y2+|x|y＝2020，所以曲线C关于y轴对称；
将y换为﹣y，x不变，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于x轴对称；
将x换为﹣x，y换为﹣y，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于原点对称；
将x换为y，y换为x，原方程化为x2+y2+|y|x＝2020，所以曲线C不关于直线y＝x对称．
故选：B．
变式3-3．方程所表示的曲线（       ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入方程，若方程不变，则方程所表示的曲线分别关于轴，原点及对称，即可得出结论.
【详解】
代入方程得，
即，与原方程不相同，故选项A不正确；
代入方程得，
即，与原方程不相同，故选项B不正确；
代入方程得，
即，与原方程相同，故选项C正确；
代入方程得，
即与原方程不相同，故选项D不正确.
故选：C.

考点四 求轨迹方程-直接法
典例4．已知点，，动点满足，则动点轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两点间的距离公式求出，，利用求出轨迹方程.
【详解】
， ，
，
又动点满足

两边平方后可得
整理后可得：
故选：A
变式4-1．在平面直角坐标系中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量的数量积的坐标运算可得选项．
【详解】
由已知得，由于，所以，
即点P的轨迹方程为．
故选：A．
【点睛】
本题考查直接法求点的轨迹方程和向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
变式4-2．在平面内，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，则动点的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设动点，根据条件得出，化简，求出轨迹方程.
【详解】
设动点，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，
，即，
两边平方得，
当时，；当时，.
故选:A.
【点睛】
本题考查求曲线的轨迹方程，要注意分类讨论，属于基础题.
变式4-3．已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为2，则圆心的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆心（x,y），根据圆过定点，求得半径，再根据圆被轴截得的弦长为2，利用弦长公式求解.
【详解】
解：设圆心（x,y），
因为圆过定点，
所以，
又动圆被轴截得的弦长为2，
所以，
化简得，
故选：D

考点五 求轨迹方程-代入法（相关点法）
典例5．已知是椭圆上任一点.是坐标原点，则中点的轨迹方程为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
设的中点为，则，又在椭圆上，故，化简得，选C.
点睛：在轨迹问题中，如果所求动点的轨迹与已知曲线上的动点相关，我们可设出动点的坐标，再用的坐标去表示的坐标，把它代入已知曲线得到的轨迹方程（也就是常说的动点转移法），轨迹方程求出后注意检验.
变式5-1．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆上点为，所求点为，利用表示，代入圆的方程即可得所求轨迹方程.
【详解】
设圆上点为，所求点为，则，
，，即所求轨迹方程为.
故选：C.
变式5-2．已知点，直线，点是直线上的一个动点，若是RA的中点，则点的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，，，由中点坐标公式把用表示，再把代入已知直线方程可得．
【详解】
设，，，
已知，由是的中点，
，则①.
点是直线上的一个动点，②.
把①代入②得：，即.
点的轨迹方程为.
故选：C.
变式5-3．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为(       )
A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
【答案】B
【解析】
【分析】
用相关点法即可求解，设P为(x,y)，通过将R点坐标表示出来，R坐标满足l方程，代入即可得到答案﹒
【详解】
设P(x,y)，，由知，点A是线段RP的中点，
∴，即，
∵点在直线y＝2x－4上，∴，
∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x．
故选：B﹒

巩固练习
练习一 曲线与方程的概念、点与曲线的位置关系
1．已知曲线C的方程是，则下列命题中错误的是（       ）
A．不在曲线C上的点的坐标可以满足方程
B．曲线C上的点的坐标都满足方程
C．坐标不满足方程的点都不在曲线C上
D．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程
【答案】A
【解析】
【分析】
根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.
【详解】
满足方程是的解对应点都在曲线上, 曲线上的点的坐标都满足方程，则曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，则不在曲线上的点的坐标不可能满足方程 ，故A错误.
故选：A.
2．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，则下列命题中是真命题的为
A．方程表示的曲线是C B．方程是曲线C的方程
C．方程的曲线不一定是C D．以方程的解为坐标的点都在曲线C上
【答案】C
【解析】
【分析】
根据命题与其逆否命题真假一致求解.
【详解】
因为命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”的逆否命题是:
方程的曲线不一定是C命题,
又“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，
所以命题“方程的曲线不一定是C”是真命题，
故选：C
【点睛】
本题主要考查命题及命题的关系，属于基础题.
3．下列各点中，在曲线上的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
将各点坐标代入曲线方程中验证，选择满足曲线方程的项.
【详解】
将各点代入验证
：，在曲线上；：，不在曲线上；
：，不在曲线上；：，不在曲线上
故选：
【点睛】
本题考查点在曲线上的问题求解，只需把点的坐标代入曲线方程，满足曲线方程即为在曲线上.
4．已知曲线的方程为，则下列各点中在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接把给出选项中点的横坐标代入曲线方程验证得答案.
【详解】
由,得,
取,得;
取,得;
取,得.
所以点在曲线上.
故选：A

练习二 由方程求曲线的图形
5．如图，方程表示的曲线是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分和，去掉绝对值，得到相应的曲线.
【详解】
，当时，，
当时，，画出符合题意的曲线，为B选项，
故选：B
6．方程表示的图形是（       ）
A．直线 B．直线
C．点 D．直线和直线
【答案】D
【解析】
【分析】
将原方程因式分解得出，可得选项．
【详解】
方程可化为，即，
故或，即方程表示的图形是直线和直线．
故选：D．
【点睛】
本题考查曲线与方程的关系，属于基础题．
7．方程表示的图形是
A．圆 B．两条直线
C．一个点 D．两个点
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，进而求得x、y的值，可知为一个点的坐标．
【详解】
由已知得即
所以方程表示点．
故选C．
【点睛】
本题考查了曲线方程的定义，属于基础题．
8．方程表示的曲线为（       ）
A．两条线段 B．一条线段和一个圆
C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件可得或，分别整理即可得答案.
【详解】
解：，
则或，
又其表示线段
其表示半圆，
故选：C.

练习三 由方程研究曲线的性质
9．方程表示的曲线满足（            ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．以上说法都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称的性质，将方程中的用替换，用替换，看方程是否与原方程相同．
【详解】
依题意得，在方程中，用替换，用替换得：
，即方程不变，
而点与点关于原点对称，
所以方程表示的曲线关于原点对称.
故选：C.
【点睛】
本题考查点关于轴的对称点为；关于轴的对称点为；
关于原点的对称点为；关于的对称点为．
10．方程所表示的曲线的对称性是（       ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于原点对称
【答案】C
【解析】
【分析】
用代换，方程不变，则曲线关于轴对称；用代换，方程不变，则曲线关于轴对称；用，分别代换，，方程不变，则曲线关于直线对称；用，代换，，方程不变，则曲线关于原点对称.
【详解】
对于A选项，用代换可得：，故A错误；
对于B选项，用代换可得：即，故B错误；
对于C选项，用，分别代换，可得：即，故C正确
对于D选项，用，代换，，可得即，故D错误
故选：C.
11．方程所表示的曲线（       ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】
分别将方程中的y换为，将方程中的x换为，将方程中的x换为且将方程中的y换为，将方程中的y换为x，x换为y，对比方程与原方程是否相同即可.
【详解】
将方程中的y换为，方程与原方程不同；
将方程中的x换为，方程与原方程不同；
将方程中的x换为且将方程中的y换为，方程与原方程不同；
所以曲线不关于x轴对称，不关于y轴对称，不关于原点对称，
同时将方程中的y换为x，x换为y，方程不发生变化，所以方程所表示的曲线关于直线对称．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查方程的曲线的对称性，属于基础题.
12．关于曲线有如下四个结论：
①图像关于轴对称；                                 ②图像关于轴对称；
③图像上任意一点到原点的距离不超过4；   ④当时，是的函数.
其中正确的序号是（     ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①②，设为曲线上的点，求出关于轴、轴的对称点，进而代入方程检验即可；对于③，当时，结合基本不等式求解，再根据对称性即可判断；对于④，给一个自变量得，该方程有两个实数根，进而判断.
【详解】
解：对于①②，设为曲线上的点，
关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，
将代入方程，显然满足，故关于轴对称，
将代入方程，得，不满足方程，不关于轴对称；
故①正确，②错误；
对于③，当时，，解得，即到原点的距离小于等于，再根据图像关于轴对称，可得图像上任意一点到原点的距离不超过4，故正确；
对于④，当时，，给一个自变量得，该方程有两个实数根，不满足函数定义，故错误.
故正确的序号是①③
故选：C

练习四 求轨迹方程-直接法
13．点，，动点满足，则满足的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设动点，直接利用已知条件列关系，化简即得结果.
【详解】
设动点，满足，即，又由，得，
，化简整理可得，.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：
求轨迹方程的常见方法：
（1）直接法：设动点，直接利用已知条件构建关系，再化简整理即得轨迹方程；
（2）相关点法：先设所求曲线上一点坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果；
（3）定义法：根据动点满足的关系判断其轨迹是熟知的圆、椭圆、双曲线等，利用定义写方程即可；
（4）参数法：需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果.
14．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，点是动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知点坐标，设将代入中并化简即可得到的轨迹方程.
【详解】
点与点关于原点对称
设，且

的轨迹方程为
故选：C
15．在平面直角坐标系中，动点关于轴对称的点为，且，则点轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，则，进而得出答案．
【详解】
设，则．
故选：B．
【点睛】
本题考查轨迹方程，向量的数量积运算，属于基础题．
16．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（       ）
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得到等量关系，整理后即可得到点P的轨迹方程.
【详解】
由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图.因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.

故选：D

练习五 求轨迹方程-代入法（相关点法）
17．当点P在圆上变动时，它与定点Q(3，0)相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设线段PQ的中点M设为(x，y)，用表示出点坐标，代入已知圆方程即得所求轨迹方程．
【详解】
解：线段PQ的中点M设为(x，y)，点P与定点Q(3，0)相连，则P(2x﹣3，2y)，
点P在圆x2+y2=1上变动时，线段PQ的中点M的轨迹方程是(2x﹣3)2+4y2=1.
故选：B.
18．已知是椭圆上任一点，是坐标原点，则中点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
先设点和中点，再根据中点坐标公式得到中点的轨迹方程即可.
【详解】
解：设点，中点，
因为点是中点，所以，则
又因为点满足椭圆方程，所以,
所以，化简得：
所以满足，
所以中点的轨迹方程为
故选：A
【点睛】
本题考查代入法求点的轨迹方程，是基础题.
19．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设中点的坐标为，则，利用在已知的圆上可得的中点的轨迹方程.
【详解】
设中点的坐标为，则，
因为点在圆上，故，整理得到.
故选：D.
【点睛】
求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，
（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.
（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.
20．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且，，则点M的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设，根据，得到，结合，即可求解.
【详解】
设，
由，可得，
则，解得，
因为，可得，即.
故选：A.