高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词学案

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

【学习目标】

【自主学习】

一．全称量词命题的否定

二．存在量词命题的否定

三．命题的否定与原命题的真假

一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．(　　)

(2)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．(　　)

(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　)

(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．(　　)

【经典例题】

题型一  全称量词命题的否定

点拨：1.对全称量词命题否定有两个方面

（1）改变量词：把全称量词换为存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)．

（2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．

2.若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题.

例1　写出下列全称量词命题的否定.

(1)所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.

【跟踪训练】1 写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假．

(1)所有的矩形都是平行四边形；

(2)∀x∈R，|x|≥x；

(3)∀x∈R＋，为正数．

题型二  存在量词命题的否定

点拨：1.对存在量词命题否定有两个方面

（1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)．

（2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．

2.由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.

例2　写出下列存在量词命题的否定.

(1)∃n∈R，x+2≤0；

(2)有的三角形是等边三角形；

(3)有一个偶数是素数.

【跟踪训练】2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．

(1)有的素数是偶数；

(2)∃x∈R，使x2＋x＋<0；

(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

题型三 全称量词命题与存在量词命题的综合应用

例3 由命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

【跟踪训练】3已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．

【当堂达标】

1.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)

A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0      B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0

C.∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0     D.∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0

2.(多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是(　　)

A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0

B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆

C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0

3.下列四个命题中，真命题是(　　)

A．∀x∈R，x＋≥2 B．∃x∈R，x2－x>5

C．∃x∈R，|x＋1|<0 D．∀x∈R，|x＋1|>0

4.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________．

5.若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，求实数a的取值范围.

【课堂小结】

1.知识清单：

(1)全称量词命题、存在量词命题的否定.

(2)命题真假的判断.

(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用.

2.方法归纳：转化法.

3.常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反.

【参考答案】

【自主学习】

∃x0∈M，¬p(x0)    存在量词命题    ∀x∈M，¬p(x)     全称量词命题

【小试牛刀】

(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

【经典例题】

例1 (1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.

(2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.

(3)该命题的否定： x∈Z，x2的个位数字等于3.

【跟踪训练】1　(1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题．

(2)原命题的否定为“∃x∈R，使|x|<x”，这个命题是假命题．

(3)原命题的否定为“∃x∈R＋，使≤0”，这个命题是假命题.

例2 (1)该命题的否定：∀n∈R，x+2＞0.

(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形

(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.

【跟踪训练】2 (1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．

(2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0.

(3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.

例3  解析：　因为命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是a>.

【跟踪训练】3 解：　题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．

所以a＝0，或即a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1.

所以实数a的取值范围是{a|a≤1}．

【当堂达标】

1. C 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.否定形式为：∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.

2.ABD 解析：若p：有的三角形为正三角形，则p的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．

3. B解析：选项A，当x<0时，x＋≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错，故选B.

4.任意一个三角形都有外接圆 解析：该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．

5.解：∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，

∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，

∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.

所以实数a的取值范围是{a|a≤4}．