人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定优质导学案及答案

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知识点1 命题的否定


一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”.


知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定


1.存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题∀x∈M，¬p(x).


2.全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题∃x∈M，¬q(x).


[微体验]


1.思考辨析


(1)命题¬p的否定是p.( )


(2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反.( )


(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.( )


答案 (1)√ (2)√ (3)√


2.若命题p：∃x0>0，xeq \\al(2,0)－3x0＋2>0，则命题¬p为( )


A.∃x0>0，xeq \\al(2,0)－3x0＋2≤0


B.∃x0≤0，xeq \\al(2,0)－3x0＋2≤0


C.∀x>0，x2－3x＋2≤0


D.∀x≤0，x2－3x＋2≤0


C [命题p是一个存在量词命题，¬p为：∀x>0，x2－3x＋2≤0.]


3.已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么¬p是____________.


∃x>2，x3－8≤0 [命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则¬p：∃x>2, x3－8≤0.]











探究一 全称量词命题的否定与真假判断


(1)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )


A.∀x∈R，|x|＋x2<0


B.∀x∈R，|x|＋x2≤0


C.∃x0 ∈R，|x0|＋xeq \\al(2,0)<0


D.∃x0 ∈R，|x0|＋xeq \\al(2,0)≥0


C [命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋xeq \\al(2,0)<0”.]


(2)写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假：


①p：所有矩形的对角线相等；


②p：不论m取什么实数， x2＋x－m＝0必有实数根.


解 ①¬p：有的矩形的对角线不相等.假命题.


②¬p：存在实数m0，使x2＋x－m0＝0没有实数根.真命题.


[变式探究] 若本例(2)②变为“p：不论m取什么实数， x2＋2mx＋m2＋1＝0都无实数根”，试写出¬p，并判断其是真命题还是假命题.


解 ¬p：存在实数m0，使x2＋2m0x＋meq \\al(2,0)＋1＝0有实数根.由于Δ＝(2m0)2－4(meq \\al(2,0)＋1)＝－4<0，故方程无实数根.所以¬p为假命题.


[方法总结]


全称量词命题的否定形式与判断真假的方法


(1)求全称量词命题的否定命题，先将全称量词调整为存在量词，再对性质p(x)进行否定.


(2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题.


[跟踪训练1] 命题p：∀x∈(0，π)，sin x＞0的否定为( )


A.∀x∈(0，π)，sin x≤0 B.∀x∈(0，π)，sin x＜0[来源:ZXXK]


C.∃x0∈(0，π)，sin x0≤0 D.∃x0∈(0，π)，sin x0＜0


C [p是一个全称命题，其否定为∃x0∈(0，π)，sin x0≤0.]


探究二 存在量词命题的否定与真假判断


写出下列存在量词命题的否定，并判断真假：


(1)p：∃x0>1，使xeq \\al(2,0)－2x0－3＝0；


(2) ¬p：存在一个非负数的平方不是正数；


(3) ¬p：∃x0，y0∈Z，使得 eq \r(2)x0＋y0＝3.


解 (1) ¬p：∀x>1，x2－2x－3≠0.假命题.


(2) ¬p：非负数的平方是正数，假命题.


(3) ¬p: ∀x，y∈Z，都有eq \r(2)x＋y≠3.假命题.


[方法总结]


(1)对存在量词命题否定的两个步骤


①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词.


②否定：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.


(2)存在量词命题否定后的真假判断


存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可.


[跟踪训练2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假.


(1)∃x0∈R, x0>2；


(2)∃x0∈R, xeq \\al(2,0)<0.


解 (1)∀x∈R，有x≤2.它是假命题.


(2)∀x∈R，有x2≥0.它是真命题.








1.含有一个量词的命题的否定


(1)全称量词命题的否定是存在量词命题.全称量词命题p：∀x∈M，p(x)；¬p：∃x0∈M，¬p(x0).


(2)存在量词命题的否定是全称量词命题.存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)；¬p：∀x∈M，¬p(x).


2.对含有一个量词的命题进行否定的易错点


(1)注意命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提.


(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.





课时作业(六) 全称量词命题与存在量词命题的否定





1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )[来源:学*科*网Z*X*X*K]


A.任意一个有理数，它的平方是有理数


B.任意一个无理数，它的平方不是有理数


C.存在一个有理数，它的平方是有理数


D.存在一个无理数，它的平方不是有理数


B [根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.]


2.设x∈A，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )


A.¬p：∃x0∈A,2x0∈B


B.¬p：∃x0∉A,2x0∈B


C.¬p：∃x0∈A,2x0∉B


D.¬p：∀x∉A,2x∉B


C [p是一个全称量词命题，故¬p为“∃x0∈A,2x0∉B”.]


3.(多空题)全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是________________，这是________命题(填“真”或“假”).


存在一个素数不是奇数 真 [全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是存在量词命题“存在一个素数不是奇数”，这是真命题.]


4.命题“∃x0，y0<0，xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)≥2x0y0”的否定为__________________.


∀x，y<0，x2＋y2<2xy [命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题.否定为：∀x，y<0，x2＋y2<2xy.]


5.(多空题)命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数.


(1)命题p的否定是________________.


(2)当a，b满足条件________时，命题p的否定为真.


(1)对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0 (2)b0.


(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－a≤0,x－b>0))的解集为R.


通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b

6.判断下列命题的真假，并写出它们的否定：


(1)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；


(2)在实数范围内，有些一元二次方程无解；[来源:学§科§网Z§X§X§K]


(3)正数的绝对值是它本身.


解 (1)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；


(2)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；


(3)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题.否定为：有的正数的绝对值不是它本身.


7.写出下列命题的否定，并判断真假.


(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；


(2)r：有些素数是奇数；


(3)s：∃x0∈R，|x0|>0.


解 (1)“¬q”：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根.它是真命题.


(2)“¬r”：每一个素数都不是奇数.它是假命题.[来源:ZXXK]


(3)“¬s”：∀x∈R，|x|≤0.它是假命题.





1.命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )


A.所有能被2整除的整数都是奇数


B.所有不能被2整除的整数都不是奇数


C.存在一个能被2整除的整数是奇数


D.存在一个不能被2整除的整数不是奇数


D [命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”.]


2.若命题“∃x0<2 020，x0>a”是假命题，则实数a的取值范围是______________.


[2 020，＋∞) [由于命题“∃x0<2 020，x0>a”是假命题，因此其否定命题“∀x<2 020，x≤a”是真命题.所以a≥2 020.]


3.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定.


(1)有一个奇数不能被3整除；


(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；


(3)有些三角形的三个内角都为60°；


(4)每个三角形至少有两个锐角；


(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.


解 (1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除.


(2)是全称量词命题，否定为：∃x0∈Z，xeq \\al(2,0)与3的和等于0.


(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角都不为60°.


(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角.


(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.


4.(拓广探索) 已知命题“存在x0∈R，axeq \\al(2,0)－2ax0－3>0”是假命题，求实数a的取值范围.


解 因为命题“存在x0∈R，axeq \\al(2,0)－2ax0－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知该命题的否定是真命题.


事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；


当a≠0时，借助二次函数的图像，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a≤0；


综上知，实数a的取值范围是[－3,0].


课程标准
学科素养
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
通过对全称量词命题、存在量词命题否定的学习，提升“数学抽象”“逻辑推理”的核心素养.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.