人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式导学案及答案

第1课时　基本不等式

课程标准

(1)了解基本不等式的代数和几何背景．(2)能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(3)能利用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　 基本不等式

如果a，b∈R＋，那么________，当且仅当❶________时，等号成立．其中叫做正数a，b的____________，叫做正数a，b的____________．所以两个正数的________平均数不小于它们的________平均数．

要点二　基本不等式与最值❷

已知x，y都是正数．

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________．

(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________．

助 学 批 注

批注❶　“当且仅当”的含义：

(1)当a＝b时，的等号成立，即a＝b⇒＝；

(2)仅当a＝b时，的等号成立，即＝⇒a＝b.

批注❷　牢记三个关键词：一正、二定、三相等．

(1)一正：各项必须为正．

(2)二定：各项之和或各项之积为定值．

(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．(　　)

(2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2.(　　)

(3)当a＞0，b＞0时，ab≤()2.(　　)

(4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)

A．a＝±1 　B．a＝1    C．a＝－1 　D．a＝0

3．已知x＞0，则x＋的最小值为(　　)

A．　　　B．2    C．2　　　D．4

4．下列条件中能使≥2成立的条件是________

①ab＞0　②ab＜0　 ③a＞0，b＞0　④a＜0，b＜0

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　利用基本不等式判断命题真假

例1　(1)下列不等式一定成立的是(　　)

A．＞(x＞0)

B．x＋≥2(x≠0)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D．＞1(x∈R)

(2)(多选)若ab＞0，则下列不等式中恒成立的有(　　)

A．a2＋b2≥2ab       B．a＋b≥2

C．(a＋)(b＋)≥4    D．≥2

方法归纳

利用基本不等式判断命题真假的一般步骤

巩固训练1　[2022·湖南岳阳高一期末]若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．a＋b≥2    B．

C．≤2        D．a2＋b2≥2ab

题型 2　直接利用基本不等式求最值

例2　(1)已知a＞0，b＞0，ab＝36，求a＋b的最小值．

(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝18，求ab的最大值．

方法归纳

利用基本不等式求最值的策略

巩固训练2　(1)已知正数a，b满足a＋b＝4，则ab的最大值为(　　)

A．    B．1

C．2      D．4

(2)已知x<0，求函数y＝x＋的最大值．

题型 3　利用基本不等式证明不等式

例3　已知a、b、c为正数，求证≥3.

方法归纳

利用基本不等式证明不等式的方法

利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形等，使之转化为能使用基本不等式的形式．

巩固训练3　已知a，b，c＞0，求证：≥a＋b＋c.

第1课时　基本不等式

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

≤　a＝b　算术平均数　几何平均数　算术　几何

要点二

(1)S2　(2)2

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．

答案：B

3．解析：因为x＞0，则x＋≥ 2＝2，当且仅当x＝，即x＝时取“＝”，所以x＋的最小值为2.

答案：C

4．解析：要使≥2成立，只需＞0，＞0即可，此时≥2 ＝2，当且仅当＝等号成立，若＜0，则不等式不成立，即只需a，b同号即可，故选项①③④满足．

答案：①③④

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)选项A中，x2＋≥x(当且仅当x＝时，x2＋＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋≥2(x>0)，x＋≤－2(x<0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0<≤1，故选项D不正确．

(2)A.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab恒成立，

B．当a＜0，b＜0时，显然ab>0成立，但是a＋b≥2不成立，

C．因为ab＞0，所以(a＋)(b＋)＝ab＋＋2≥2＋2＝4

(当且仅当ab＝时取等号，即ab＝1时取等号)，所以本选项符合题意，

D．因为ab＞0，所以≥2 ＝2(当且仅当＝时取等号，即a＝b＞0或a＝b＜0时取等号)，所以本选项符合题意．

答案：(1)C　(2)ACD

巩固训练1　解析：由于ab＞0，可知a与b同号，显然当a＜0，b＜0时，选项A，B中的不等式不成立，所以选项A，B错误；

由ab＞0，得＞0，＞0，所以≥2 ＝2，选项C错误；

显然∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，选项D正确．

答案：D

例2　解析：(1)∵，

∴a＋b≥2＝2＝12，

(当且仅当a＝b＝6时取等号)

故a＋b的最小值为12.

(2)∵，

∴ab≤()2＝()2＝81，

(当且仅当a＝b＝9时取等号)

故ab的最大值为81.

巩固训练2　解析：(1)当a，b为正实数时，由，得ab≤()2＝()2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，

∴ab的最大值为4.

(2)x<0，－x>0，－x＋≥2，∴x＋≤－2，

当且仅当－x＝，即x＝－1时取得最大值－2.

答案：(1)D　(2)见解析

例3　证明：∵≥2 ＝2同理可证，≥2，≥2，

∴()＋()＋()≥2＋2＋2＝6，

∴－1＋－1＋－1≥3，

即：≥3.

巩固训练3　证明：∵a，b，c，均大于0，

∴＋b≥2 ＝2a.

当且仅当＝b时等号成立．即a＝b，

＋c≥2 ＝2b.

当且仅当＝c时等号成立．即b＝c，

＋a≥2 ＝2c，

当且仅当＝a时等号成立．即a＝c，

相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，

∴≥a＋b＋c.(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)