高中数学人教版新课标B选修1-11.1.2量词学案

这是一份高中数学人教版新课标B选修1-11.1.2量词学案，共8页。


授课提示：对应学生用书第15页
[教材提炼]
知识点一 全称量词与全称量词命题
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
语句(1)“x＞3”；语句(2)“对所有的x∈R，x＞3”，两者有什么区别？
知识梳理 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier)，并用符合“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题(universal prpsitin)．
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
(2)通常，将含有变量x 的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
知识点二 存在量词与存在量词命题
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
语句(1)“2x＋1＝3”；语句(2)“存在一个x∈R，使2x＋1＝3”，两者有什么区别？
知识梳理 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier)，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题(existential prpsitin)．
常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
(2)存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)．
知识点三 含有量词命题的否定
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
“空集是集合A＝{1,2,3}的真子集”与“空集不是集合A＝{1,2,3}的真子集”，两个命题有什么关系？是真是假．
知识梳理 (1)否命题
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．通常用符号“綈p(x)”表示“p(x)不成立”．
(2)对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：∀x∈M，p(x)．它的否定：∃x∈M，綈p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．
(3)对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．
[自主检测]
1．下列语句中是全称量词的命题有________，是存在量词命题的有________．
(1)2x＋1是整数；
(2)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数；
(3)至少有一个x∈Z，使2x＋1为整数；
(4)x∈R，|x|＋1≥1.
答案：(2)(4) (3)
2．判断下列全称量词命题的真假：
(1)每个四边形的内角和都是360°；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数．
答案：(1)真 (2)假 (3)假
3．判断下列存在量词命题的真假：
(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
(2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数；
(3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．
答案：(1)真 (2)假 (3)真
4．写出下列命题的否定：
(1)∀n∈Z，n∈Q；
(2)任意奇数的平方还是奇数；
(3)每个平行四边形都是中心对称图形．
答案：(1)∃n∈Z，n∉Q；
(2)存在一个数为奇数，它的平方不是奇数；
(3)存在一个平行四边形，不是中心对称图形．
授课提示：对应学生用书第16页
探究一 全称量词命题、存在量词命题的判断
[例1] 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的平行四边形是菱形；
(3)有一个数是素数也是合数；
(4)菱形的对角线互相垂直．
[解析] (2)(3)的存在量词“有的”“有一个”为存在量词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题.
判定一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
(1)首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质，只有全称量词才可省略.
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
(1)负数没有倒数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除；
(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)x＞7.
答案：(1)(3)(4)为全称量词命题
(2)为存在量词命题
探究二 全称量词命题、存在量词命题的
真假
[例2] 判断下列命题的真假
(1)梯形的对角线相等；
(2)有些菱形是正方形；
(3)至少有一个整数n，n2＋1是4的倍数．
[解析] (1)假：省略了全称量词，如直角梯形的对角线不相等．
(2)真：正方形是菱形的特例．
(3)假：不存在n，使n2＋1是4的倍数．
1．全称量词命题真假的判断
对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”：
(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例)
2．存在量词命题真假的判断
对于存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”：
(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例)
(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．
下列命题中是假命题的个数为________．
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数；
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(3)有些实数是无限不循环小数；
(4)存在一个三角形不是等腰三角形；
答案：0
探究三 含有量词的命题的否定
[例3] 写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)p：∃x＞1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
[解析] (1)綈p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.假命题，如x＝3时，x2－2x－3＝0.
(2)綈p：任意素数不是奇数．假命题，如素数3为奇数．
(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．是真命题，如a＝0、b＝0时，x∈R；a＝0、b≠0，解不存在．
(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.真命题，如15.
1．全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
2．存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立．
写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)∃x0，y0∈Z，使得eq \r(2)x0＋y0＝3.
解析：(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
探究四 全称量词命题、存在量词命题的
应用
[例4] (1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围；
(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
(2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.
通过量词的意义及命题的真假，建立关于参数的不等式(组)或方程求解．
∀a∈R，|a－1|＝1－a成立，求a的范围．
解析：由题意得a－1≤0，
∴a≤1.
授课提示：对应学生用书第17页
借问量词何处有——无量词命题的否定eq \x(►数学抽象、逻辑推理)
1．量词的理解
通常量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词．全称量词，如“所有”“任何”“一切”等，其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物X来说，X都是F”．例句：“所有的鱼都会游泳”；存在量词，如“有”“有的”“有些”等，其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物X，X是F”．例句：“有的工程师是工人出身”．
2．全称量词命题与存在量词命题
判断一个命题为全称量词命题还是存在量词命题，关键是看命题中是否有全称量词和存在量词．
这里需要注意的是：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：(1)“末位是0的整数，可以被5整除”；(2)“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；(3)“负数的平方是正数”；(4)“梯形的对角线相等”都是全称命题，因此在判断是否为全称命题时要注意，这也是为后面学习全称命题的否定打好基础．
应当指出，同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择：
关键量词的否定
[典例] 写出下列命题的否定．
(1)若x2＞4，则x＞2.
(2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根．
(3)可以被5整除的整数，末位是0.
(4)被8整除的数能被4整除．
(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
[解析] (1)否定：存在实数x0，虽然满足xeq \\al(2,0)＞4，但x0≤2.或者说：存在小于或等于2的数x0，满足xeq \\al(2,0)＞4.(原意表达为对任意的实数x，若x2＞4则x＞2)
(2)否定：虽然实数m≥0，但存在一个x0，使xeq \\al(2,0)＋x0－m＝0无实数根．(原意表达：对任意实数m，若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根．)
(3)否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.
(4)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
(5)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等．(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等．)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义．
数学抽象
逻辑推理
2.了解全称量词命题和存在量词命题及真假．
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
命题
全称量词命题
“∀x∈M，p(x)”
存在量词命题
“∃x∈M，p(x)”
表
述
方
式
(1)所有的x∈M，p(x)成立
(1)存在x∈M，使得p(x)成立
(2)对一切x∈M，p(x)成立
(2)至少有一个x∈M，使p(x)成立
(3)对每一个x∈M，p(x)成立
(3)对有些x∈M，使p(x)成立
(4)任意一个x∈M，p(x)成立
(4)对某个x∈M，使p(x)成立
(5)凡x∈M，都有p(x)成立
(5)有一个x∈M，使p(x)成立
词语
是
一定是
都是
大于
小于
且
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
词语
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
所有x不成立
词语的否定
一个也没有
至多有n－1个
至少有两个
存在一个x不成立
存在有一个成立