2021学年第二章 轴对称图形2.2 轴对称的性质一等奖ppt课件

2.2 轴对称的性质

一、单选题

1．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是（        ）

A．对应线段互相平行 B．对应线段相等

C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直

【答案】A

【解析】

根据轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，可知选项B、C、D正确，选项A错误.

故选A.

2．两个图形关于某直线对称，对称点一定(     )

A．这直线的两旁 B．这直线的同旁 C．这直线上 D．这直线两旁或这直线上

【答案】D

【解析】

由成轴对称的定义知，成轴对称的两个图形的对称点，或者在对称轴上，或者在对称轴两旁.

故选D.

点睛：本题考查了成轴对称的定义，一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫做对应点.

3．如图所示的蝴蝶结是一个轴对称图形．若，，那么下面的结论正确的是（　　）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】

【分析】

轴对称图形对应线段相等，对应角相等，据此解答即可．

解：根据轴对称的性质，可得cm，，

故选：．

【点睛】

本题考查轴对称图形的性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

4．已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交直线MN于点O，则（　　）

A．点O是BC的中点 B．点O是B1C1的中点

C．线段OA与OA1关于直线MN对称 D．以上都不对

【答案】C

【解析】

【分析】

根据轴对称的性质先确定对应点，再根据对应点的连线是对应线段解答．

由题意可知点O不是BC的中点，A错误；由题意可知点O不是B1C1的中点，B错误；

根据题意A和 A1是关于MN的对应点，∴线段OA与OA1关于直线MN对称，

故选C.

【点睛】

本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质.

5．下列说法正确的是(     )

A．两个全等的三角形一定关于某条直线对称 B．关于某条直线对称的两个三角形一定全等

C．直角三角形是轴对称图形 D．锐角三角形都是轴对称图形

【答案】B

【解析】

A.根据轴对称的定义，全等三角形不一定关于某直线对称，故错误；

B. 根据轴对称的性质,关于某条直线的对称的两个三角形一定全等,故正确;

C.直角三角形中，等腰直角三角形是轴对称图形，其它一般的直角三角形不是，故错误；

D.锐角三角形不一定是轴对称图形，如三个角分别是50°、60°、70°的三角形就不是轴对称图形，故错误.

故选B.

6．下列说法中正确的有(     )

①角的两边关于角平分线对称; ②两点关于连结它的线段的中垂线对称

③成轴对称的两个三角形的对应点,或对应线段,或对应角也分别成轴对称

④到直线l距离相等的点关于l对称

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】

①∵应该为角的两边关于“角平分线所在直线”对称,故不正确;

②“两点关于连结它的线段的中垂线对称”正确；

③“成轴对称的两个三角形的对应点,或对应线段,或对应角也分别成轴对称”正确；

④∵到直线l距离相等的点可以在l的同一侧,故不正确；

∴②和③正确.

故选B.

7．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论中：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③直线l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．其中正确的有(        )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【解析】

分析：根据轴对称图形的性质来进行解答即可得出答案．

详解：根据轴对称性可得：△ABC≌△AB′C′；∠BAC′＝∠B′AC；直线l垂直平分CC′；直线BC和B′C′的交点一定在l上，故正确的有①、②、③，故选B．

点睛：本题主要考查的是轴对称图形的性质，属于基础题型．轴对称图形的对应边和对应角都相等，对应点的连线被对称轴垂直平分．

8．已知△ABC关于直线MN对称，则下列说法错误的是（　　）

A．△ABC中必有一个顶点在直线MN上

B．△ABC中必有两个角相等

C．△ABC中，必有两条边相等

D．△ABC中必有有一个角等于60°

【答案】D

【解析】

解：∵△ABC关于直线MN对称，∴△ABC为等腰三角形，其对称轴为底边上的高所在的直线．

A、△ABC中必有一个顶点在直线MN上，故本选项正确；

B、△ABC中必有两个角相等，故本选项正确；

C、△ABC中，必有两条边相等，故本选项正确；

D、当该等腰三角形是等边三角形时，△ABC中有一个角等于60°，故本选项错误．

故选D．

9．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（ ）

A．AM=BM B．∠ANM=∠BNM

C．∠MAP=∠MBP D．AP=BN

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论．

解：直线是四边形的对称轴，

，，．

由于和不是对应线段，故不一定等于．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查的是轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．

10．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形， CF 所在的直线是它的对称轴，若AFC  BCF  150，则AFE  BCD 的大小是（       ）

A．150° B．300° C．210° D．330°

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用轴对称图形的性质得出∠AFE+∠BCD=2（∠AFC+∠BCF），进而得出答案．

∵六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，∠AFC+∠BCF=150°，

∴∠AFC=∠EFC，∠BCF=∠DCF，

∴∠AFE+∠BCD=2（∠AFC+∠BCF）=300°．

故选B

【点睛】

此题主要考查了轴对称图形的性质，正确把握定义是解题关键．

二、填空题

11．成轴对称的两个图形的主要性质是:

（1）成轴对称的两个图形是________﹔

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对________的垂直平分线．

【答案】     全等的     对应点所连线段

【解析】

【分析】

根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点的垂直平分线，进行求解即可．

解：（1）成轴对称的两个图形是全等的；

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

故答案为：全等的，对应点所连线段．

【点睛】

本题主要考查了轴对称图形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

12．轴对称图形的性质：

（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．

（2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______________．

【答案】     垂直平分线     垂直平分线

【解析】

略

13．如图，与关于直线对称．若，，则的度数为________．

【答案】40°

【解析】

【分析】

根据对称的两个图形的对应角相等即可得到结果；

∵与关于直线对称，

∴．

又∵，

∴的度数为．

故答案为：40°．

【点睛】

本题主要考查了对称的性质及三角形内角和的定理，准确计算是解题的关键．

14．已知Rｔ△ABC中，点B关于对称轴AC的对应点是B′，如图所示，则与线段BC相等的线段是_____，与线段AB相等的线段是_____，与∠B相等的角是_______.

【答案】     B′C，     AB′，     ∠B′

【解析】

根据轴对称图形的性质得，与线段BC相等的线段是B′C，与线段AB相等的线段是AB′，与∠B相等的角是∠B′.

故答案：(1). B′C，       (2). AB′，       (3). ∠B′

15．若直角三角形是轴对称图形,则其三个内角的度数分别为________.

【答案】90°，45°，45°

【解析】

∵直角三角形是轴对称图形 ，

∴一定有两个角相等.

又∵直角三角形一定有一个角为90°，

∴相等的是两个锐角.

∵直角三角形的两个锐角互余，

∴每一个锐角为45°.

16．如图，点D为的边AC上一点，点B，C关于DE对称，若，，则线段BD的长度为______．

【答案】4

【解析】

【分析】

证明，可得结论．

解：，，

，

，关于对称，

，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查轴对称的性质，线段的和差定义等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．

17．如图，已知点A、B直线MN同侧两点， 点A’、A关于直线MN对称.连接A’B交直线MN于点P,连接AP.若A’B＝5cm，则AP+BP的长为________

【答案】5cm

【解析】

∵点A′、A关于直线MN对称，点P在对称轴MN上，

∴A′P、AP关于直线MN对称，

∴A′P=AP，

∴AP+BP= A′P+PB=A′B＝5cm.

18．如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连结交于，交于，若线段的长为，则的周长为______．

【答案】12

【解析】

【分析】

根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长．

解：点关于、的对称点，，

，，

的周长，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．

三、解答题

19．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．

【答案】第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，对称轴见解析．

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的定义确定是轴对称图形，然后画出对称轴即可．

解：第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，

对称轴如下：

．

【点睛】

本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键．

20．如图所示，已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：

（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点______________；

（2）分别延长DM，EP，FN至点____________，使______＝______，______＝______，______＝______；

（3）顺次连结______，______，______，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHL.

【答案】（1）M，P，N；（2）G，H，L，MG，DM　，PH，EP，NL，FN；（3）GH，HL，LG

【解析】

【分析】

作轴对称图形就是从图形的各顶点向轴引垂线并延长相同长度找对应点，顺次连接所成的图形．根据这个作法对(1)、(2)、(3)进行求解即可.

(1)分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点M、P、N；

(2)分别延长DM，EP，FN至点G、H、L，使MG=DM， PH=EP， NL=FN；

(3)顺次连结GH，HL，LG，就得到△DEF关于直线AB的对称图形△GHL.

故答案为(1)M，P，N；

(2)G，H，L，MG，DM， PH，EP， NL，FN；

(3)GH，HL，LG．

【点睛】

本题考查了的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．

21．燕子风筝的骨架如图所示，它是以直线L为对称轴的轴对称图形．已知∠1＝∠4＝45°，求∠2和∠5的度数．

【答案】∠2＝45°，∠5＝45°

【解析】

【分析】

利用对顶角的定义以及轴对称图形的性质求出即可．

∵风筝的骨架如图所示，它是以直线L为对称轴的轴对称图形，∠1＝∠4＝45°，∴∠2＝∠4＝45°（对顶角相等），∠5＝∠4＝45°．

【点睛】

本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称图形的性质求出是解题的关键．

22．如图,△ABC关于直线L的轴对称图形是△DEF, 如果△ABC的面积为6CM2,且DE=3CM， 求△ABC中AB边上的高h.

【答案】h=4cm

【解析】

试题分析：本题思路的关键是利用轴对称图形的性质，得到AB =DE=3cm，然后利用面积法求出AB边上的高h.

解：∵△ABC关于直线L的轴对称图形是△DEF，

∴AB =DE=3cm，

∴h=6×2÷3=4cm.

23．如图，与关于直线对称．与的交点F在直线上．

（1）指出两个三角形中的对称点；

（2）指出两个三角形中相等的对应线段和对应角（各写三对即可）；

（3）图中还有对称的三角形吗？

【答案】（1）A→A，B→D，C→E，F→F；（2）AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E；（3）不另加字母和线段的情况下：△AFC与△AFE，△ABF与△ADF，也都关于直线MN成轴对称．

【解析】

【分析】

根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形．

解：①A→A，B→D，C→E，F→F；

②AB=AD，AC=AE，BC=DE，

∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E；

③不另加字母和线段的情况下：△AFC与△AFE，△ABF与△ADF，也都关于直线MN成轴对称．

【点睛】

本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的图形的性质．

24．如图，与关于直线对称，其中．

（1）连接，线段与的关系是什么？

（2）求的度数；

（3）求的周长和的面积．

【答案】（1）垂直平分线段；（2）90゜；（3）24cm，24cm2

【解析】

【分析】

（1）根据轴对称的性质即可得到答案；

（2）根据成轴对称的两个图形全等即可得到答案；

（3）根据成轴对称的两个图形全等即可得到答案．

解：（1）∵与关于直线对称，

∴垂直平分线段；

（2）∴与关于直线对称，

∴，

∴；

（3），，，，

∴，

∴的周长；

∴．

【点睛】

本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键在于能够熟练掌握成轴对称的两个图形是完全一样的．

25．如图，A与A′关于直线MN对称，P是BA′与MN的交点.若P1为直线MN上任意一点（不与P重合），连结AP1、BP1，试说明 AP1+BP1>AP+BP.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由三角形三条边的关系可得A′P1+BP1>A′B，再由轴对称的性质可得AP1=A′P1，然后通过等量代换可证明结论.

解：如图，连结A′P1，则在△A′P1B中，有A′P1+BP1>A′B

∴A′P1+BP1>A′P+PB

∵A与A′关于直线MN对称，

∴AP1与A′P1关于直线MN对称

∴AP1=A′P1

同理可得：AP=A′P

∴AP1+BP1>AP+BP

【点睛】

本题考查了三角形三条边的关系，轴对称的性质.此题的关键是熟练运用轴对称的性质，把四条线段，转换成三条，再利用三角形的三边关系找到突破口.

26．如图，直线，交于点，点关于，的对称点分别为，．

（1）若，相交所成的锐角，则________；

（2）若，，求的周长．

【答案】（1）120°；（2）11

【解析】

【分析】

（1）由于P关于1、2的对称点分别为P1、P2，可得出∠P1AO=∠AOP，∠P2OB=∠POB，再根据∠AOB=60°即可求解；

（2）根据对称的性质可知，OP1=OP=OP2=3，再根据P1P2=5即可求出△P1OP2的周长．

（1）∵点关于，的对称点分别为，，

∴，，

∴；

故答案为：120°；

（2）∵点关于，的对称点分别为，，

∴，

∵，

∴的周长为．

【点睛】

本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

27．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′；

（1）求证：△ABD≌△ACD′；

（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可；

（2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可．

（）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，

∴，

在△ABD和△ACD′中，

∵ ，

∴ △ABD≌△ACD′（SSS）.

（）解：∵≌，

∴，

∴，

∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，

∴，

即．

点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键.

28．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，

（1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；

（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．

【答案】（1）∠MCN =2∠MEN，理由见解析；（2）∠OPM+∠OQN．

【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的性质以及平行线的性质得到∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，利用三角形的外角性质得到2∠2+∠MCN=2∠O①和∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②，计算可得∠MCN =2∠MEN；

（2）过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P，根据轴对称的性质得到PM+PQ+NQ的最小值为M1N1，利用轴对称的性质和三角形的外角性质即可计算得到∠OPM+∠OQN．

解：（1）∠MCN =2∠MEN，理由如下：

如图，

∵NE是∠MNC的平分线，MDOB，∠O=∠OMN，

∴∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，

在△OMN中，∠MNB=∠O+∠OMN，

∴∠1+∠2+∠MCN=2∠O，即2∠2+∠MCN=2∠O①，

又∠3=∠2+∠MCN =∠4+∠MEN，即∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②，

由①②得：∠MCN =2∠MEN；

（2）如图，过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P，

∴PM+PQ+NQ=PM1+PQ+QN1，

由两点之间，线段最短，可得PM+PQ+NQ的最小值为M1N1，

由对称的性质，知：∠MPO=∠M1PO，∠NQA=∠N1QA，

设∠OQP=，∠ONQ=，

由对顶角的性质得∠MPO=∠M1PO=∠QPN，∠NQA=∠N1QA=∠OQP=，

在△OQN中，∠NQA=∠O+∠ONQ，即，

在△OPQ中，∠QPN =∠O+∠OQP，即∠OPM，

∠OQN=180°-∠NQA=180°，

∴∠OPM+∠OQN=160°．

【点睛】

本题主要考查了轴对称-最短路径问题，平行线的性质，角平分线的定义，掌握轴对称-最短路径的确定方法是解题的关键．