人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式课后复习题

  课时跟踪检测（二十）  倍角公式

A级——学考水平达标练

1．若tan θ＝－，则cos 2θ等于(　　)

A．－  B．－

C.  D．

解析：选D　若tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.

2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)

A．－  B．－

C.  D．

解析：选A　将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2 α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－.

3．计算：＝(　　)

A.  B．1

C. D．2

解析：选B　原式＝＝＝＝1.

4．化简＝(　　)

A．cos x  B．tan x

C．sin x  D．sin 2x

解析：选B　原式＝

＝sin x＝sin x·

＝＝tan x.

5．已知x∈，cos x＝，则tan 2x等于(　　)

A.  B．－

C. D．－

解析：选D　由cos x＝，x∈，得sin x＝－，所以tan x＝－，所以tan 2x＝＝＝－，故选D.

6．已知sin＝，则sin 2x的值为________．

解析：sin 2x＝cos＝cos

＝1－2sin2＝.

答案：

7．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝_______，b＝________.

解析：2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝

sin＋1，故A＝，b＝1.

答案：　1

8．已知sin 2θ＝，则cos2＝________.

解析：cos2＝

＝＝，∵sin 2θ＝，

∴cos2＝＝.

答案：

9．求值：.

解：∵sin 50°(1＋tan 10°)

＝sin 50°·＝sin 50°·＝1，

cos 80°＝sin 10°＝sin210°，

∴＝＝.

10．已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2sin xcos x.

(1)化简f(x)；

(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α.

解：(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.

(2)∵f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，

即2kπ<2α<2kπ＋(k∈Z)，

∴2kπ－<2α－<2kπ＋(k∈Z)，

∴cos＝，

∴sin 2α＝sin＝sin·cos ＋cos·sin ＝×＋×＝.

B级——高考水平高分练

1．已知tan x＝，则sin2＝(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D．

解析：选D　因为tan x＝，所以sin2＝＝＝＋＝＋＝＋＝.

2．设sin＝，则sin＝(　　)

A．－  B．－

C.  D．

解析：选B　因为sin＝，

所以sin＝sin

＝－cos＝－＝－.

3．函数f(x)＝sin－2·sin2x的最小正周期是________．

解析：f(x)＝sin－2sin2x

＝sin 2x－cos 2x－2×

＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，

故该函数的最小正周期是＝π.

答案：π

4．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，则α＋2β＝________.

解析：∵β为锐角，且cos β＝，∴sin β＝，∴tan β＝，则tan 2β＝＝＝.

∵tan α＝7，∴tan(α＋2β)＝＝＝＝－1.

由α，β为锐角，可得α＋2β＝.

答案：

5．已知函数f(x)＝.

(1)求f的值；

(2)当x∈时， 求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．

解：f(x)＝

＝

＝

＝＝＝2cos 2x.

(1)f＝2cos ＝2cos ＝－.

(2)g(x)＝f(x)＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x

＝sin .

因为x∈，所以≤2x＋≤，

所以g(x)max＝，g(x)min＝－1.

6.如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

解：∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，

∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30 m.

又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，

∴AD＝CD＝10 m.

∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ(m)，

在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，

∴10sin 4θ＝30sin 2θ，

即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，∴cos 2θ＝，

又2θ∈，∴2θ＝，∴θ＝，

∴AE＝30sin＝15(m)，

∴θ＝，建筑物AE的高为15 m.