数学必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试优秀随堂练习题
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7.3.1正弦函数的图像与性质同步练习人教 B版（2019）高中数学必修第三册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 设，，，则有
A. B. C. D.
- 已知，，，，则a，b，c，d的大小关系为
A. B. C. D.
- ，，的大小关系是
A. B.
C. D.
- 设，，，则有
A. B. C. D.
- 设，，；则有
A. B. C. D.
- 下列关系式中正确的是
A. B.
C. D.
- 下列比较大小，正确的是
A. B.
C. D.
- 下列关系式中正确的是
A. B.
C. D.
- 设，，，则有
A. B. C. D.
- 已知是定义在R上的函数，且，，当时，，则
A. 1 B. 2 C. D.
- 设函数的定义域为R，满足，且当时则当的最小值是
A. B. C. D.
- 已知函数对都有，且当时，则
A. 1 B. C. D.
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知函数为定义在R上的奇函数，对任意都有，当时，，则的值为 ．
- 函数的定义域为 ．
- 函数的定义域为 ．
- 写出一个最小正周期为2的偶函数 ．
三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）
- 设函数，则 ，若，则实数x的取值范围是 ．
- 如果在同一坐标系内，用五点法作函数，的图象，它们的第四个点的坐标分别是 ， ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 若函数的定义域为A．
求集合A；
当时，求函数的最大值．
- 已知函数的最小值为，且．
求实数a的值；
求函数的最大值，并求此时x的取值集合．
- 已知函数的最小值为，且．
求实数a的值；
求函数的最大值，并求此时x的取值集合．
- 已知函数，．
求的最小值；
若在上有零点，求a的取值范围．
- 已知函数，．
Ⅰ求函数的定义域；
Ⅱ若函数，，求函数的最小值；结果用含a的式子表示
Ⅲ当时，，是否存在实数b，对于任意，不等式恒成立，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数单调性的应用，属于中档题．
先利用三角恒等变换公式对，，化简，然后利用正弦函数的单调性比较大小即可．
【解答】
解：
，
，
，
因为在上为增函数，
所以，
所以，
故选：C．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了比较大小，属于难题．
用辅助角公式及正弦函数的单调性，化简a，并比较与1的大小；用二倍角正弦公式化简b，用指数函数的单调性运用中间值比较法比较c，d的大小，再判断即可．
【解答】
解：．
，所以，
因为，
所以，，
因为，
所以，即
而，
所以有．
故选：A
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了利用正弦函数单调性比较正弦值大小，属于基础题．
首先利用诱导公式将化为，由正弦函数的单调性可与比较大小，接下来根据，据此可得出答案．
【解答】
解：由诱导公式得，
且在上是单调递增函数，
因为，所以，
因为，所以．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题
先利用两角和的正弦公式对a化简，利用二倍角公式对b化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小
【解答】
解：，
，，
因为，
所以根据正弦函数的性质知，即可，
故选：B
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，根据两角和余弦公式、诱导公式、二倍角的余弦公式和同角三角函数的平方关系，化简，是解答本题的关键，属于中档题．
利用两角和的余弦公式及诱导公式，我们可得，由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系，可得，由余弦的二倍公式，可得，再结合正弦函数的单调性，即可得到的大小关系．
【解答】
解：，
，
，
又，
故选：A．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用．
化简得到，利用函数的单调性得到答案．
【解答】
解：，
因为在锐角范围内单调递增，
故，
所以，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查三角函数值比较大小，掌握正弦函数的单调性是解题关键，解题时用诱导公式化角为同一单调区间，然后再利用单调性比较大小．
用诱导公式化角到正弦函数的同一个单调区间上，再由单调性得结论．
【解答】
解：，，
又，
在上是减函数，
所以，即．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．
先根据诱导公式得到和，再结合正弦函数的单调性可得到从而可确定答案．
【解答】
解：，
，
由正弦函数的单调性得，
即．
故选：A
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．
由两角差的正弦公式，余弦和正弦的二倍角公式化简，然后由正弦函数的单调性得出结论．
【解答】
解：，
，
，
显然，所以．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性和周期的计算，逻辑推理和计算能力，属于中档题．
由，可知是奇函数，分析可得，即函数是周期为3的周期函数，据此可得，结合函数的解析式分析可得答案．
【解答】
解：由，可知是奇函数，
，即，
，可得周期，则，
当时，，
，得．
故选：A．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数的性质，利用函数周期性求对应区间解析式，进而求最值，属于简单题；
由已知有周期为1，利用周期性可得时，即可求其最小值．
【解答】
解：由知：，
令，有，则，
，
故在上的最小值为．
故选：D
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数的周期以及求函数值，属于基础题．
先求出函数的周期，再利用周期可求的值．
【解答】
解： 因为，故即．
故，故的周期为8，
所以，
故选：B．
13.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性与周期性，属于基础题．
根据题意，分析可得，则函数是周期为6的周期函数，则有，结合函数的解析式可得答案．
【解答】
解：根据题意，对任意都有，
则，
则函数是周期为6的周期函数，
则，
当时，，则，
故，
故答案为：2．
14.【答案】，
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数函数及其性质与函数的定义域，正弦函数的性质，属于基础题．
根据题意知，，有，求解即可．
【解答】
解：根据题意知，，有，
解得，，
故所求定义域为，
故答案为，
15.【答案】，
【解析】
【分析】
本题主要考查函数定义域的求解，根据根式函数成立的条件以及三角函数的性质是解决本题的关键．属于基础题．
根据函数成立的条件进行求解，即可得解．
【解答】
解：要使函数有意义，则，即，
所以，，
即函数的定义域为，，
故答案为：，．
16.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
根据题意，联想余弦函数的性质，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、周期性，注意常见函数的奇偶性、周期性，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数，
可以联想余弦函数，
则，
故答案为：答案不唯一
17.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查正弦函数的图像和性质，属于中档题．
将代入函数解析式即可求出，，解出，从而得到结果．
【解答】
解：由题意可得：
，
因为，
所以时，，
即，即，
所以，
所以，，
所以x的取值范围为，，
故答案是0；，
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查五点法，难度一般．
根据五点法，可以知道五点纵坐标取值，再将代入，，根据五点法即可得解．
【解答】解：根据正弦函数的图象，可以知道，用五点法画，三个函数的图象，取的第四个点纵坐标为，
将分别代入，，
根据五点法可得，
，，
，，
所以，第四个点的坐标分别为： ，．
故答案为；．
19.【答案】解：由题意可得，解得，
即集合．
，，
令，则，
当时，函数取得最大值为．
【解析】本题主要考查定义域的求法，三角函数的最值，属于中档题．
由题意列不等式组，即可求解集合A；
利用同角三角函数的基本关系可得，利用换元法及二次函数的性质即可求得最大值．
20.【答案】解：根据题意：函数，
令，，
则，
当时，即，
，所以无解．
当时，即，
，即，
所以或舍去，
当时，即时，
，所以，舍去，
综上所述：．
当时，，
当时，即时，函数的最大值为5．
即当取值集合为时，函数的最大值为5．
【解析】直接利用分类讨论思想的应用，讨论区间和对称轴的关系求出a的值．
利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
21.【答案】解：由题意得：．
令，．
，．
当，即时，，，所以无解；
当，即时，，
即，解得或舍去；
当，即时，，所以舍去．
综上：．
当时，．
当，即，时，．
综上，当x的取值集合为时，函数y的最大值为5．
【解析】本题考查三角函数的最值问题，属于中档题．
设，则，讨论、和，即可得解；
，进而可求得结果．
22.【答案】解：函数
，
，
，
当，即时，则时，取得最小值；
当，即时，则时，取得最小值；
当，即时，则时，取得最小值，
综上可得，．
，
，
由，可得，
令，则，
当时，等式显然不成立，故，
则，
令，则，
则，
由函数的单调性易得在上，a随m的增大而减小，
．
【解析】本题考查三角函数的值域，考查了二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．
利用三角函数的值域，二次函数的性质，分类讨论，求得的最小值；
先通过换元将原问题转化为，，利用函数的单调性即可求得a的取值范围．
23.【答案】解：Ⅰ根据题意，得，即，
，或，，
函数的定义域为．
Ⅱ，
，
，
，
，即．
令，则，，，
函数的图象关于直线对称，
当时，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，
；
当时，．
函数的最小值；
Ⅲ，
在R上单调递增且为奇函数．
又对于任意，不等式恒成立．
对于任意，不等式恒成立．
令，则在R上单调递增，
又，
对于任意，不等式在R上恒成立，即在R上恒成立．
当时，不合题意；
当时，不合题意；
当时，则，即，不合题意．
综上所述，不存在符合条件的实数b，使得对于任意，不等式恒成立．
【解析】本题考查了函数的定义域、三角不等式的求解、含有参数的二次函数最值问题、不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般解法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于拔高题．
Ⅰ利用函数定义域即为使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，列出不等关系，结合三角不等式的解法求解即可；
Ⅱ先利用正弦函数的性质求出的范围，令，从而得到函数，利用二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分别求解最值即可；
Ⅲ求出的解析式，判断它的单调性与奇偶性，令，从而得到的单调性，将不等式恒成立转化为在R上恒成立，然后对b的范围进行分类讨论，分别求解即可求解．
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