数学人教B版 (2019)7.3.1 正弦函数的性质与图像课后作业题

  课时跟踪检测（八）  正弦函数的性质与图像

A级——学考水平达标练

1．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)

解析：选D　可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A、C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B.

2．函数y＝9－sin x的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析：选B　y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同．

3．下列关系式中正确的是(　　)

A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°

B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°

C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°

D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°

解析：选C　sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°.因为正弦函数y＝sin x在区间上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.

4．(多选题)已知函数f(x)＝cos(x∈R)，下面结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间上是减函数

C．函数f(x)的图像关于原点对称

D．函数f(x)为偶函数

解析：选ABC　∵f(x)＝cos＝－sin x，结合函数y＝－sin x的图像及性质知A、B、C正确．

5．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是(　　)

A．(0，π)  B.

C. D.

解析：选C　画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．

因为sin＝，所以sin＝－，

sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－的解集是.故选C.

6．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是______．

解析：因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.

答案：[－1,0]

7．函数y＝sin2x＋sin x的值域是________．

解析：令sin x＝t，则－1≤t≤1，则y＝t2＋t＝2－.由于－1≤t≤1，则－≤y≤2.

答案：

8．若x是三角形的最小角，则y＝sin x的值域是________．

解析：由三角形内角和为π知，若x为三角形中的最小角，则0＜x≤，如图，由y＝sin x的图像知y∈.

答案：

9．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．

解：∵f(x)的最小正周期是π，

∴f＝f＝f.

∵f(x)是R上的偶函数，

∴f＝f＝sin＝，

∴f＝.

10．用“五点法”作出函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的图像．

解：列表如下：

描点，用光滑曲线连起来，图像如图所示．

B级——高考水平高分练

1．(多选题)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k的交点个数可能是(　　)

A．0  B．1

C．2  D.3

解析：选ABCD　f(x)＝sin x＋2|sin x|＝在同一坐标系内分别作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示，

当k>3或k<0时，两图像无交点；当k＝3时，两图像有1个交点；当1<k<3时，两图像有2个交点；当k＝1或k＝0时，两图像有3个交点；当0<k<1时，两图像有4个交点．由题意知，可选A、B、C、D.

2．已知函数f(x)＝2sin x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　)

A.  B.

C．π  D.2π

解析：选C　由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin x的半个周期．因为f(x)＝2sin x的周期为2π，所以|x1－x2|的最小值为π.

3．函数y＝sin x的值域为________．

解析：画出函数y＝sin x的图像，如图．由图像可知，当x＝时，ymax＝1，当x＝时，ymin＝－，所以函数y＝sin x的值域为.

答案：

4．求函数y＝(sin x－1)2＋2的最大值和最小值，并说出取得最大值和最小值时相应的x的值．

解：设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1,1]．

当t＝－1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最大值(－1－1)2＋2＝6.

由t＝sin x＝－1，得x＝2kπ－(k∈Z)，

即当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最大值6.

当t＝1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最小值(1－1)2＋2＝2.

由t＝sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，

即当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最小值2.

5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系是.

解：由f(x＋1)＝－f(x)，

得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．

因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上是增函数，

所以函数f(x)在[0,1]上是增函数．

又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，

即＞α＞－β＞0，

因为y＝sin x在上为增函数，

所以sin α＞sin＝cos β，

且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]，所以f(sin α)＞f(cos β)．