高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程学案及答案

曲线与方程

笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高．其中有一个很有名的故事，笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式：r＝a(1－sin θ).你知道这是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线(如图所示)，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名．

[问题]　你能举例说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？

知识点　曲线与方程

1．曲线的方程、方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：

(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；

(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．

则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．

2．求曲线的方程的步骤

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y2＝x与y＝表示同一条曲线．(　　)

(2)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方程是＝k.(　　)

(3)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有F(x0，y0)＝0.(　　)

(4)以A(0，1)，B(1，0)，C(－1，0)为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是(　　)

A．一个点　 　 　 　 　 　  B．一条直线

C．两条直线     D．一个点和一条直线

答案：C

3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9     B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3     D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3

答案：B

4．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________．

答案：

　　[例1]　(链接教科书第118页例1)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：

(1)过点A(2，0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；

(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；

(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．

[解]　(1)过点A(2，0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2，0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2，0)平行于y轴的直线的方程．

(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.

(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.

判定曲线和方程的对应关系的策略

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．

[注意]　只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．　

[跟踪训练]

1．方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线是(　　)

解析：选D　原方程等价于或x2＋y2＝4，其中当x＋y－1＝0时，需有意义，即x2＋y2≥4，此时原方程表示直线x＋y－1＝0不在圆x2＋y2＝4内的部分及圆x2＋y2＝4.

2．命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是(　　)

A．方程F(x，y)＝0的曲线是C

B．方程F(x，y)＝0的曲线不一定是C

C．F(x，y)＝0是曲线C的方程

D．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上

解析：选B　“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，但“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．

[例2]　已知曲线C的方程是x4＋y2＝1.关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：

①曲线C关于原点对称；

②曲线C关于直线y＝x对称；

③曲线C所围成的区域的面积大于π.

其中，所有正确结论的序号是________．

[解析]　将方程中的x换成－x，y换成－y方程不变，

∴曲线C关于原点对称，故①正确；

将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错误；

在曲线C上任取一点M(x0，y0)，x＋y＝1，∵|x0|≤1，

∴x≤x，

∴x＋y≥x＋y＝1，即点M在圆x2＋y2＝1外，故③正确．

故正确的结论的序号是①③.

[答案]　①③

讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面

(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；

(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；

(3)研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)；

(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；

(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．　

[跟踪训练]

画出方程y＝表示的曲线．

解：∵y＝＝＝||x|－1|，易知x∈R，y≥0.

用－x代替x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y，∴曲线关于y轴对称．

当x≥0时，y＝|x－1|＝

分段画出该方程的图像，即为y轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到方程y＝的图像，如图所示．

角度一　直接法求曲线方程

[例3]　(链接教科书第120页例3)已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．

[解]　如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.

设Q(x，y)，由题意，得

|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，

即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9，

所以OP的中点Q的轨迹方程为x2＋＝(去掉原点).

直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略

直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型；

(1)题目给出等量关系，求轨迹方程，可直接代入即可得出方程；

(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．

[注意]　求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．　　

角度二　代入法求曲线方程

[例4]　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．

[解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．

∴即

又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，

∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.

[母题探究]

1．(变条件)本例中把条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“＝2”，求P点的轨迹方程．

解：设P(x，y)，M(x0，y0)，

则＝(x－x0，y－y0)，＝(3－x，－y)，

由＝2得

即又∵M在曲线x2＋y2＝1上，

∴(3x－6)2＋9y2＝1，

∴点P的轨迹方程为(3x－6)2＋9y2＝1.

2．(变条件)本例中把条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3，0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．

解：设P(x，y)，M(x0，y0)，∵M为PB的中点．

∴又∵M在曲线x2＋y2＝1上，

∴＋＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，

∴P点轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.

代入法求解曲线方程的步骤

(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；

(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系

(3)代入相关动点的轨迹方程；

(4)化简、整理，得所求轨迹方程．　

1．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是(　　)

解析：选D　对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C，故选D.

2．若M(1，2)在曲线x2＋ay2＝2上，则a的值为(　　)

A．　　　　　　　　　  B．4

C．     D．3

解析：选A　因为M(1，2)在曲线x2＋ay2＝2上，代入曲线方程可得a＝.

3．曲线y＝和y＝－x＋公共点的个数为________．

解析：由得－x＋＝，两边平方并整理得(x－1)2＝0，所以x＝，y＝，故公共点只有一个.

答案：1

4．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，且＝，求点P的轨迹方程．

解：P(x，y)，R(x1，y1)，由＝，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，

得即x1＝2－x，y1＝－y，代入直线y＝2x－4中，得y＝2x.

即点P的轨迹方程为y＝2x.