选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案设计

双曲线的标准方程

如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．

[问题]　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？

知识点一　双曲线的定义

如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．

1．双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？

提示：若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P的轨迹不存在．

2．定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？

提示：此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．

知识点二　双曲线的标准方程

巧记双曲线焦点位置与方程的关系

焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．　　

　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？

提示：双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－

a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)方程－＝1表示双曲线．(　　)

(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．(　　)

(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2＞b2.(　　)

(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)

A．(－，0)，(，0)　　　  B．(－5，0)，(5，0)

C．(0，－5)，(0，5)     D．(0，－)，(0，)

答案：B

3．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足||PF1|－|PF2||＝6，则动点P的轨迹方程是________．

答案：－＝1

4．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．

答案：－＝1

[例1]　已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)

A．k>5　　　　　　  B．k>5或－2<k<2

C．k>2或k<－2     D．－2<k<2

[解析]　∵方程对应的图形是双曲线，

∴(k－5)(|k|－2)>0.

即 或

解得k>5或－2<k<2.

[答案]　B

双曲线方程的辨识方法

将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　

[跟踪训练]

1．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)

A.　　　　　　　　　  B．5

C．7     D．

解析：选D　根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.

2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　)

A．焦点在x轴上的椭圆     B．焦点在x轴上的双曲线

C．焦点在y轴上的双曲线     D．焦点在y轴上的椭圆

解析：选C　方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．

[例2]　(链接教科书第139页例1)根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)a＝4且经过点A；

(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；

(3)双曲线过两点P，Q，且焦点在坐标轴上．

[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.

(2)设双曲线的标准方程为－＝1(－4<k<16).

将点(3，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍去)，

∴双曲线的标准方程为－＝1.

(3)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).

∵点，在双曲线上，

∴解得

∴双曲线的标准方程为－＝1.

1．求双曲线标准方程的步骤

(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；

(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．

2．双曲线标准方程的两种求法

(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；

(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．

[注意]　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　

[跟踪训练]

1．焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　)

A．x2－＝1     B．－y2＝1

C．y2－＝1     D．－＝1

解析：选A　∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).由题知c＝2，

∴a2＋b2＝4.①

又∵点(2，3)在双曲线上，∴－＝1.②

由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.

2.如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，则曲线C的方程为________．

解析：法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4.

∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．

则c＝2，2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.

故曲线C的方程为－＝1.

法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4.

∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．

设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故曲线C的方程为－＝1.

答案：－＝1

[例3]　如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．

(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；

(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．

[解]　双曲线的标准方程为－＝1，

故a＝3，b＝4，c＝ ＝5.

(1)由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，

又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，

假设点P到另一个焦点的距离等于x，

则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.

故点P到另一个焦点的距离为10或22.

(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.

在△F1PF2中，由余弦定理得

cos ∠F1PF2＝

＝＝0，

∴∠F1PF2＝90°，

∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.

[母题探究]

1．(变条件，变设问)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．

解：由双曲线的标准方程－＝1，

得a＝3，b＝4，c＝5.

由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，

∴|10－|PF2||＝6，

解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.

2．(变条件)若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其它条件不变，求△F1PF2的面积．

解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，

|PF2|－|PF1|＝6，

可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，

∴S△F1PF2＝×4×4＝8.

3．(变条件)本例双曲线方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．

解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.

由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，

所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，

所以|PF1|·|PF2|＝64，

则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16.

在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　

[例4]　(链接教科书第137页情境与问题)A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．

[解]　如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2).因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为P(x，y)，BC的中点为D.因为kBC＝－，D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4).①

又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－＝1(x≥2).②

联立①②，得x＝8，y＝5，所以P的坐标为(8，5).

因此kPA＝＝.

故炮击的方向角为北偏东30°.

双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．

[跟踪训练]

某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．

解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.

在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，

从而c2＝＝4 375，b2＝3 750，

故所求分界线的方程为－＝1(x≥25).

即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工．

椭圆、双曲线特性归纳及应用

已知点B(6，0)和C(－6，0)，过点B的直线l和过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，如果k1k2＝－，求点A的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线．

提示：动点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±6)，其轨迹是椭圆，除去它与x轴的两个交点．

[问题探究]

若示例中“k1k2＝－”变为“k1k2＝”试说明上述问题．

提示：动点A的轨迹方程为－＝1(x≠±6)，其轨迹是双曲线，除去它与x轴的两个交点．

结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.

(1)当k1·k2＝时，点M的轨迹方程为双曲线－＝1(x≠±a，a＞0，b＞0)；

(2)当k1·k2＝－时，点M的轨迹方程为椭圆＋＝1(x≠±a，a＞b＞0).

[迁移应用]

(2019·全国卷Ⅱ节选)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线．

解：由上述探究的结论可知k1·k2＝－＝－.又∵a2＝4，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1(x≠±2).

即曲线C为焦点在x轴上且不包含长轴端点的椭圆．

1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的(　　)

A．必要不充分条件　　　  B．充分不必要条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

解析：选A　当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线．

2．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　)

A．(1，2)     B．(2，＋∞)

C．(－∞，－2)     D．(－2，2)

解析：选C　由题意，方程可化为－＝3，

∴解得m＜－2.

3．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解：设动圆M的半径为r.

因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，

所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.

相减得|MC1|－|MC2|＝4.

又因为C1(－3，0)，C2(3，0)，

并且|C1C2|＝6＞4，

所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，

且有a＝2，c＝3.所以b2＝5，

所求的轨迹方程为－＝1(x≥2).