人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质第二课时导学案及答案

第二课时　椭圆的几何性质(二)

角度一　直接法求椭圆的离心率

[例1]　已知直线l：2x－y＋2＝0过椭圆左焦点F和一个顶点B，则该椭圆的离心率为(　　)

A．　　　　　　　  B．

C．     D．

[解析]　由直线l：2x－y＋2＝0，令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝－1.又∵直线l：2x－y＋2＝0过椭圆左焦点F和一个顶点B，∴椭圆的左焦点F(－1，0)，顶点B(0，2)，

∴c＝1，b＝2，∴a＝＝＝，∴该椭圆的离心率e＝＝＝.故选B.

[答案]　B

角度二　构造方程或不等式求椭圆的离心率

[例2]　(1)若一个椭圆长轴长与焦距之和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是(　　)

A．     B．

C．     D．

(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．

[解析]　(1)由题意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)2，

所以4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，3a2－2ac－5c2＝0，5e2＋2e－3＝0，解得e＝(负值舍去).

(2)依题意可得2c≥2b，即c≥b.

所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，

即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.

又因为0<e<1，

所以椭圆离心率的取值范围是.

[答案]　(1)B　(2)

求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解；

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．　

[跟踪训练]

1．已知椭圆＋x2＝1(b＞0)的离心率为，则b等于(　　)

A．3　　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选B　易知b2＋1＞1，由题意得＝＝，解得b＝或b＝－(舍去)，故选B.

2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选A　如图，△BF1F2是正三角形，

∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，

|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，

∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.

3．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是________．

解析：因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.因为a－c≤|PF1|≤a＋c，即a－c≤3c≤a＋c，解得≤≤.所以椭圆C的离心率e的范围为.

答案：

[例3]　(链接教科书第133页例4)我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程(精确到1 km).

[解]　如图，建立直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点(记F1为左焦点)，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

则a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|＝6 371＋439＝6 810，

a＋c＝|OB|＋|OF2|＝|F2B|＝6 371＋2 384＝8 755，

∴a＝7 782.5≈7 783.

∴b＝

＝＝≈7 721，

∴卫星运行的轨道方程是＋＝1.

解决椭圆的实际问题的基本步骤

(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；

(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；

(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．

[跟踪训练]

神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为(　　)

A．d1＋d2＋R　　　　　  B．d2－d1＋2R

C．d2＋d1－2R     D．d1＋d2

解析：选D　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.

1．椭圆＋＝1的离心率是(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选B　由椭圆＋＝1可得a＝3，b＝2，∴c＝＝，

∴椭圆的离心率e＝＝.故选B.

2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选B　因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b＝c，所以a＝＝c，所以离心率e＝＝.故选B.

3．(2021·陕西商洛市高二月考)已知椭圆M：＋＝1，椭圆N：＋＝1，椭圆P：＋＝1，则(　　)

A．M与N的离心率相等，M与P的焦距相等

B．M与N的离心率相等，N与P的焦距相等

C．M与N的焦距相等，M与P的短轴长相等

D．M与N的焦距相等，M与P的离心率相等

解析：选D　∵k2＋16－(k2＋9)＝16－9，∴M与N的焦距相等；

∵＝，∴M与P的离心率相等．故选D.

4．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为________．

解析：因为长轴长为4，所以a＝2，

根据离心率为，得c＝，

所以b＝＝，

所以短轴长为2.

答案：2

5．已知椭圆＋＝1的离心率e＝.求k的值．

解：分两种情况进行讨论．

①当椭圆的焦点在x轴上时，由a2＝k＋8，b2＝9，得

c2＝k－1.

∵e＝，∴＝，解得k＝4.

②当椭圆的焦点在y轴上时，

由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.

∵e＝，∴＝，解得k＝－.

综上可得，k＝4或k＝－.