人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系学案设计

圆与圆的位置关系

下图为1973年12月24日在哥斯答黎加拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．

[问题]　(1)根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？

(2)能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？

(3)直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？

知识点　圆与圆的位置关系

1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．

2．判定方法

(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

(2)代数法：设两圆的一般方程为

C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，

C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，

联立方程得

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)

(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)

A．内切　　　　　　　  B．相交

C．外切     D．相离

解析：选B　两圆的圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r<<R＋r，所以两圆相交，故选B.

3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．

解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，

两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.

答案：x＋3y＝0

[例1]　(链接教科书第113页例1)已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．

[解]　法一(几何法)：把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝.

把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1，4)，半径长r2＝5.

圆C1和圆C2的圆心距d＝ ＝3，

又圆C1与圆C2的两半径之和是r1＋r2＝5＋，两半径之差是r2－r1＝5－.

而5－<3<5＋，即r2－r1<d<r1＋r2，

所以两圆的位置关系是相交．

法二(代数法)：将两圆的方程联立得到方程组

由①－②得x＋2y＋1＝0，③

由③得x＝－2y－1，把此式代入①，

并整理得y2－1＝0，④

所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1.

所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(－3，1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交．

判断两圆位置关系的两种方法

(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；

(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．　

[跟踪训练]

1．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为(　　)

A．相切　　　　　　　　  B．内含

C．外离     D．相交

解析：选B　圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，即(x＋1)2＋＝，∴C1，圆C1的半径r1＝.圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，即(x＋2)2＋＝，

∴C2，圆C2的半径r2＝.∴两圆的圆心距|C1C2|＝＝.又∵r1＋r2＝＋＝8，r2－r1＝－＝5，∴|C1C2|＝<r2－r1＝5，故两圆内含．故选B.

2．已知两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径长r的值是________．

解析：因为＝2＜5＋r，所以两圆不能外切，故两圆内切，所以＝|5－r|，解得r＝5±2.

答案：5±2

[例2]　求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．

[解]　法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2).

设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.

则有＝ ，

解得a＝，故圆心为，

半径为 ＝.

故圆的方程为＋＝，

即x2＋y2－x＋7y－32＝0.

法二： 因为圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，

其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.

故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.

1．圆系方程

一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．

2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程

若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

3．公共弦长的求法

(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；

(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．　

[跟踪训练]

求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．

解：联立两圆的方程得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．

法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或

所以|AB|＝＝2，即公共弦长为2.

法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.

设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.

[例3]　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．

[解]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，

由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，

则＝r＋1.①

又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，

故＝，②

＝r.③

解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.

故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.

[母题探究]

1．(变条件)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”．

解：因为圆心在x轴上，

所以可设圆心坐标为 (a，0)，半径为r，

则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，

又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，

所以

解得

所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.

2．(变条件、变设问)将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，试求实数m的值．”

解：圆x2＋y2－2x＝0的圆心为A(1，0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圆心为B(4，4)，半径为r2＝.因为两圆相外切，

所以＝1＋，解得m＝16.

处理两圆相切问题的两个步骤

(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论；

(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．

[跟踪训练]

求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．

解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则

＝1.①

(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3，②

联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；

(2)若两圆内切，则有＝|2－1|＝1，③

联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.

综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.

两圆的公切线问题

同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线，探索平面内两个圆的公切线条数与它们的位置有什么关系，并求出圆C1：x2＋y2＝2与圆C2：(x－2)2＋y2＝8的公切线．

[问题探究]

1．两圆公切线的条数

(1)两圆外离，公切线有4条(外公切线2条，内公切线2条)，如图①；

(2)两圆外切，公切线有3条(外公切线2条，内公切线1条)，如图②；

(3)两圆相交，公切线有2条(外公切线2条，内公切线0条)，如图③；

(4)两圆内切，公切线有1条(外公切线1条，内公切线0条)，如图④.

2．公切线交点

设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，则外公切线的交点P满足＝；

内公切线的交点Q满足＝.

[迁移应用]

如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1，圆O2都与直线l：y＝kx及x轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程．

解：由题意，圆心O1，O2都在x轴与直线l组成角的角平分线上．

若直线l的斜率k＝tan α，设t＝tan ，则k＝.

圆心O1，O2在直线y＝tx上，可设O1(m，mt)，O2(n，nt).

交点P(2，2)在第一象限，m，n，t＞0，

所以⊙O1：(x－m)2＋(y－mt)2＝(mt)2，⊙O2：(x－n)2＋(y－nt)2＝(nt)2.

所以

即

所以m，n是方程x2－(4＋4t)x＋8＝0的两根，于是mn＝8.

由半径的积(mt)(nt)＝2，得t2＝，故t＝.

所以k＝＝＝，直线l的方程为y＝x.

1．两圆x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的位置关系是(　　)

A．相离　　　　　　  B．相交

C．内切     D．外切

解析：选B　两圆圆心分别为(0，2)和(－2，－1)，半径分别为1和4，圆心距d＝＝，|r1－r2|＜d＜|r1＋r2|，故两圆相交．

2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋n＝0内切，则n＝(　　)

A．21     B．9

C．19     D．－11

解析：选D　C2化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－n，

其圆心为(3，4)，半径r＝，C1圆心为(0，0)，半径为1.

若两圆内切，则有＝－1，解得n＝－11.

3．圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为(　　)

A．4x－1＝0     B．4y－1＝0

C．x＋y－1＝0     D．x－y－1＝0

解析：选A　两圆方程相减消去二次项得4x－1＝0，此即为两圆公共弦所在直线方程．

4．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为________．

解析：两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即两圆的交点坐标为A(2，2)，B(2，－2)，则|AB|＝2－(－2)＝4.

答案：4

5．求圆O：x2＋y2＝36与圆M：x2＋y2－10y＋16＝0的公切线的方程．

解：如图，易知两圆相交，公切线有两条．

由圆M的方程易得M(0，5)，半径r＝3.

设两圆的公切线与圆O相切于点B(x0，y0)，则公切线方程为x0x＋y0y＝36.

∵点M到公切线的距离等于3，

∴＝3.

∵x＋y＝36，又由图知y0<6，

∴－(5y0－36)＝18，即y0＝.从而x0＝±＝±.

故公切线方程为x＋y－36＝0或－x＋y－36＝0，

即4x＋3y－30＝0或4x－3y＋30＝0.