高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数精练

课时跟踪检测(二十五)　指数爆炸和指数衰减　

[A级　基础巩固]

1．下列函数中，指数函数的个数为(　　)

①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝－1.

A．0个　　　　　　　　　 B．1个

C．3个  D．4个

解析：选B　由指数函数的定义可判定，只有②正确．

2．已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝1，则a＝(　　)

A.  B．

C．1  D．2

解析：选A　根据题意可得f(－1)＝21＝2，

∴f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝，故选A.

3．若指数函数y＝f(x)的图象过点(2，4)，则f(3)的值为(　　)

A．4  B．8

C．16  D．1

解析：选B　设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，a≠1)，又由函数的图象经过点(2，4)，则a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍)，即f(x)＝2x，所以f(3)＝23＝8，故选B.

4．已知f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)，且f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值是(　　)

A．14  B．13

C．12  D．11

解析：选C　由f(x)＝ax＋a－x得f(0)＝a0＋a0＝2.

又f(1)＝3，即a＋a－1＝3，∴(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，∴a2＋a－2＝7，即f(2)＝7.

因此，f(0)＋f(1)＋f(2)＝2＋3＋7＝12，故选C.

5．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　)

A．f(x＋y)＝f(x)f(y)

B．f(x－y)＝

C．f＝f(x)－f(y)

D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)

解析：选ABD　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确．

6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________．

解析：由指数函数的定义得

解得a＝1.

答案：1

7．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，其图象经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．

解析：由已知得解得所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝＋3＝4＋3＝7.

答案：7

8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为________．

解析：5年后价格为8 100×；10年后价格为8 100×；15年后价格为8 100×＝2 400(元)．

答案：2 400元

9．某生态文明小镇2018年底人口为20万人，人均住房面积为8 m2，计划2022年底人均住房达到10 m2，如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万平方米？(精确到1万平方米)

解：设这个城市平均每年要新增住房x万m2，

据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10，所以x＝50×1.014－40≈12.

所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2.

10．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．

(1)求f(x)的表达式；

(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．

解：(1)由a2＋a－5＝1，a>0，且a≠1，

可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.

(2)F(x)＝2x－2－x，

∴F(－x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．

[B级　综合运用]

11．池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是(　　)

A．第15天  B．第20天

C．第25天  D．第29天

解析：选D　因为浮萍覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍，且第30天时刚好被浮萍盖满，所以可知第29天时刚好覆盖池塘的一半．故选D.

12．已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，则x＝________．

解析：因为函数的图象过点(－1，2)，

所以＝2，所以a＝1，

所以f(x)＝，g(x)＝f(x)可变形为4－x－2－x－2＝0，

解得2－x＝2，所以x＝－1.

答案：1　－1

13．已知函数f(x)满足：对任意实数x1<x2，有f(x1)<f(x2)，且f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，若写出一个满足这些条件的函数，则这个函数可以写为________．

解析：∵x1<x2时，f(x1)<f(x2)，

∴f(x)为增函数．

∵f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)符合指数函数的性质，

∴满足条件的函数可以是y＝ax(a>1)．

答案：y＝2x(底数大于1的指数函数即可)

14．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：

甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．

乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．

请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？

解：设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.

乙方案在10年后的木材产量为

y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.

∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，

∴乙方案能获得更多的木材．

[C级　拓展探究]

15．已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N＋，求函数y＝f(x)的一个解析式．

解：当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，

所以函数f(x)为指数型函数，

令f(x)＝k(k≠0)，

又f(0)＝3，所以k＝3，

所以f(x)＝3×.