高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.5 函数模型及其应用当堂检测题

课时跟踪检测(三十五)　形形色色的函数模型

[A级　基础巩固]

1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N＋)，该产品的产量y满足(　　)

A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5%

C．y＝a(1＋5%)x－1  D．y＝a(1＋5%)x

解析：选D　经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.

2．某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下(　　)

A．0.015克  B．(1－0.5%)3克

C．0.925克  D． 克

解析：选D　设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余1×(1－x)100克，依题意得(1－x)100＝0.5，所以x＝1－，3年后剩余为(1－x)3，将x的值代入，得结果为，故选D.

3．某商场2020年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，

现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)

A．y＝log2t  B．y＝2t

C．y＝t2  D．y＝2t

解析：选B　作出散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B.

4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　)

A．浮萍每月的增长率为1

B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2

C．浮萍每月增加的面积都相等

D．若浮萍蔓延到2 m2，3m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3

解析：选ABD　图象过(1，2)点，∴2＝a1，即a＝2，

∴y＝2t.

∵＝＝1，

∴每月的增长率为1，A正确．

当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴B正确．

∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确．

∵2＝2，3＝2，6＝2，

∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，

∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．故选A、B、D.

5．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　)

A.倍  B．10倍

C．10倍  D．ln倍

解析：选B　依题意可知，η1＝10·lg，η2＝10·lg，所以η1－η2＝10·lg－10·lg，则1＝lg I1－lg I2，所以＝10.故选B.

6．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m时，球到达最高点，此时球高3 m，已知球门高2.44 m并且球按抛物线飞行，球________踢进球门(填“能”或“不能”)．

解析：建立如图所示的坐标系，抛物线经过点(0，0)，顶点为(6，3)．

设其解析式为y＝a(x－6)2＋3，把x＝0，y＝0代入，得a＝－，

∴y＝－(x－6)2＋3.

当x＝10时，y＝－(10－6)2＋3＝<2.44.

∴球能踢进球门．

答案：能

7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.

解析：当v＝12 000 m/s时，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6，所以＝e6－1.

答案：e6－1

8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．

(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得0＝5log2，解得Q＝10.

即燕子静止时的耗氧量是10个单位．

(2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式，得

y＝5log2＝5log28＝15.

即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.

9．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.

(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；

(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．

解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，

若模型为f(x)＝2x＋a，

则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，

即f(x)＝2x＋2，

此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．

若模型为f(x)＝logx＋a，

则f(x)是减函数，与已知不符合．

由已知得解得

所以f(x)＝x＋，x∈N.

故最适合的函数模型解析式为f(x)＝x＋，x∈N.

(2)2021年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13，

2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.

故2021年的年产量为9.1万件．

[B级　综合运用]

10.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与时间t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间的函数关系式y＝f(t)；

(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．

解：(1)当0≤t<1时，y＝kt，由点M(1，4)在直线上，得4＝k，故y＝4t；

当t≥1时，y＝，由点M(1，4)在曲线上，得4＝，解得a＝3，即y＝.

故y＝f(t)＝

(2)由题意知f(t)≥0.25，

则或解得≤t≤5.

所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝(h)．

11．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝alg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．

(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；

(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音强度大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．

解：(1)∵D1＋2D2＝3D3，

∴alg I1＋b＋2(alg I2＋b)＝3(alg I3＋b)，

∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，

∴I1·I＝I.

(2)由题意得

∴100<10lg I＋160<120，

∴10－6<I<10－4.

故当声音能量I∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．

[C级　拓展探究]

12．中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分).

(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；

(2)求函数f(x)的最大值．

解：(1)当0≤x<6时，由题意，

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由题中表格数据可得

解得

所以当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x.

当x≥6时，f(x)＝，

由题中表格数据可得，f(9)＝＝，解得t＝7，

所以当x≥6时，f(x)＝.

综上，f(x)＝

(2)当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4，

所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，为4；

当x≥6时，f(x)＝单调递减，

所以f(x)的最大值为f(6)＝＝3，

因为4>3，

所以函数f(x)的最大值为4.