人教A版 (2019) 选择性必修 第二册 第五章一元函数的导数及其应用单元检测题（基础巩固篇）

第五章一元函数的导数及其应用单元检测题（基础巩固篇）

一、单选题

1．已知二次函数的图象的顶点坐标为，则的值为（    ）

A．1 B．0 C．－1 D．2

2．一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（    ）

A．物体5 s内共走过42 m

B．物体每5 s运动42 m

C．物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s

D．物体以t＝5 s时的瞬时速度运动的话，每经过1 s，物体运动的路程为42 m

3．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为（    ）

A．－3 B．0 C．1 D．3

4．函数y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则（    ）

A．k1<k2 B．k1>k2 C．k1＝k2 D．不确定

5．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（   ）

A． B．

C． D．

6．函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）

A． B．1 C．2 D．0

7．已知函数，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

8．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为，在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，，，…，，它们越来越接近r.若，，则用牛顿法得到的r的近似值约为（    ）

A．1.438 B．1.417 C．1.415 D．1.375

二、多选题

9．(多选题)以下运算正确的是（    ）

A．′＝ B．(cos x)′＝－sin x

C．(2x)′＝2xln 2 D．(lg x)′＝－

10．如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（    ）

A．在处导函数有极大值 B．在，处导函数有极小值

C．在处函数有极大值 D．在处函数有极小值

11．某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，）的变化近似满足关系式，则下列说法正确的有（    ）

A．在上的平均变化率为 B．一天内有2次潮水起落的瞬时速度最大

C．当时，潮水起落的瞬时速度最大 D．当时，潮水起落的瞬时速度为

12．已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为___________.

14．已知，则的值为___________.

15．函数的单调增区间是________．

16．若的图像上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若，恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是___________.

四、解答题

17．已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示：

（1）甲、乙两人的平均速度各是多少？

（2）在接近终点时，甲乙两人谁的速度更快？

18．求下列函数的导数：

（1）；

（2）y＝excosx；

（3）

19．已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间.

20．已知函数在处的切线方程．

（1）求，的值；

（2）求的单调区间与极小值．

21．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求在上的最大值和最小值．

22．已知函数（是正常数）.

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）若，，求的取值范围；

参考答案

1．B

【分析】

利用顶点切线平行于x轴求解

【详解】

∵二次函数的图象的顶点坐标为，∴过点的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，∴，

故选：B．

2．D

【分析】

根据瞬时速度的定义即可得出选项.

【详解】

由导数的物理意义知，

s′（5）＝42(m/s)表示物体在t＝5 s时的瞬时速度．

故选：D.

3．A

【分析】

利用来求得正确答案.

【详解】

.

依题意，

.

故选：A

4．D

【分析】

计算出，求出k1－k2＝2Δx，即得解.

【详解】

解：由题得k1＝＝2x0＋Δx，

k2＝＝2x0－Δx.

所以k1－k2＝2Δx，因为Δx的正负不确定，所以k1与k2的大小关系也不确定.

故选：D

5．B

【分析】

根据平均速度的几何意义对进行分析，由此确定正确选项.

【详解】

设直线的斜率分别为，

则，

，

，

由题中图象知，

即.

故选:B

6．C

【分析】

利用切线斜率和切点坐标直接求解

【详解】

由题意可知，将代入切线方程，得，所以．

故选：C

7．A

【分析】

设，然后可得函数为奇函数，函数在上单调递增，然后不等式可化为，然后可解出答案.

【详解】

设，可得函数为奇函数，

，所以函数在上单调递增，

，

所以．

故选：A

8．B

【分析】

利用切点和斜率求得切线方程，结合牛顿法求得.

【详解】

由题意，得，，，

所以曲线在点处的切线方程为，

令，得.

又，，

所以曲线在点处的切线方程为，

令，解得.

故选：B.

9．BC

【分析】

根据基本初等函数的导函数公式求各函数的导函数，进而判断各选项的正误.

【详解】

A：，不正确；

B：(cos x)′＝－sin x，正确；

C： (2x)′＝2xln 2，正确；

D： (lg x)′＝，不正确．

故选：BC

10．ABCD

【分析】

根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项.

【详解】

根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.

根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.

故选：ABCD

【点睛】

本小题主要考查极大值、极小值的定义和判断，属于基础题.

11．AB

【分析】

A根据平均变化率的定义求在上的平均变化率即可；B、C对求导，结合余弦函数性质求潮水起落的瞬时速度最大时的值；D将代入中求值即可.

【详解】

在上的平均变化率为，故A正确；

，，令，，得，，又，所以当和时，潮水起落的瞬时速度最大且为，故B正确，C错误；

由，D错误.

故选：AB.

12．ABC

【分析】

结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可

【详解】

对于A，，令，得或，有“巧值点”；

对于B，，令，得，有“巧值点”；

对于C，，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”；

对于D，，令，即，得，无解，无“巧值点”.

故选：ABC.

13．

【分析】

结合导数，利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】

，又，

所以在处的切线方程为，化简得.

故答案为：

14．

【分析】

利用导数求导运算法则，求出即可求解.

【详解】

解：因为，所以，

所以，

故答案为： .

15．，

【分析】

求导后，令即可解得所求的增区间.

【详解】

由题意得：定义域为，，

令，解得：或，

的单调增区间为，.

故答案为：，.

16．

【分析】

要求“友情对点”，可把的函数图像关于原点对称，即研究对称过去的图像和的图像有两个交点即可.

【详解】

解：关于原点对称的解析式为.

的图像与的交点个数即为方程根的个数，即.

设，于是

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，函数取最小值.

于是作出的图像如图所示.

，即时与有两个交点，原函数有两对“友情对点”.故实数的取值范围是

故答案为：

17．

（1）平均速度均为；

（2）乙的速度更快.

【分析】

（1）由路程和时间即可求得平均速度；

（2）根据接近终点时的斜率大小关系可确定瞬时变化率大小，从而得到结论.

（1）

甲、乙跑均用时，两人平均速度相同，均为；

（2）

由图可知：接近终点时，斜率，即乙的瞬时变化率高于甲的瞬时变化率，

在接近终点时，乙的速度更快.

18．（1）18x2＋4x－3；（2）ex(cosx－sinx)；（3）．

【分析】

由基本初等函数的导数公式和导数的四则运算公式计算.

【详解】

（1）因为＝6x3＋2x2－3x－1，所以y′＝18x2＋4x－3；

（2）y′＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)；

（3）y′＝＝＝；

19．（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间和.

【分析】

（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）解方程，根据的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.

【详解】

解：（1）函数的定义域为，

因为，

所以函数在点处的切线方程，

即.

（2）因为，

令，得，

所以当时，，可知在区间上单调递增，

当，或时，，可知在区间和上都单调递减，

所以单调递增区间，单调递减区间和.

20．（1）；（2）在单调递减，在单调递增，的极小值为．

【分析】

（1）根据导数的几何意义，有，又，联立方程组即可求解.

（2）求函数的导函数，然后令导函数大于0，可得增区间，令导函数小于0，可得减区间，从而可得函数的极小值．

【详解】

解：（1），由已知可得，解得.

（2）由（1）可得，

∴，

令，解得；令，解得，

∴在单调递减，在单调递增，

∴当时，的极小值为．

21．（1）；（2）最大值，最小值．

【分析】

（1）利用导数的几何意义，求得切线斜率，利用点斜式即可得解；

（2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求得最值.

【详解】

（1）由得，，

∴，，

∴曲线在点处的切线方程，即；

（2）令可得或，此时函数单调递增，

令可得，此时函数单调递减，

故函数在上单调递减，

∴的最大值，最小值．

22．（1）在上单调递增，在上单调递减，的极大值是，无极小值；（2）.

【分析】

（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；

（2）依题意可得，设，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；

【详解】

解：（1）当时，，定义域为，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值是，无极小值.

（2）因为，，即恒成立，即.

设，可得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.