人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算当堂达标检测题

专题5.2导数的运算检测题（基础巩固篇）

一、单选题

1．设f(x)＝cos 2x－3x，则f′＝（    ）

A．－5 B．－3 C．－4 D．－

2．若函数，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

3．设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝（    ）

A． B． C．－ D．－

4．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于（    ）

A．4 B．－4 C．5 D．－5

5．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为（   ）

A． B． C． D．

6．函数y＝sin x·cos x的导数是（    ）

A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x

C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x

7．曲线在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（    ）

A． B．－ C． D．1

8．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A．1 B． C． D．4

二、多选题

9．下列各式正确是（    ）

A． B．

C． D．

10．设函数的导函数为，则（    ）

A． B．

C． D．

11．已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．是奇函数

12．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.

14．设曲线y＝ax3+x在（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6＝0平行，则实数a的值为______.

15．设，，，，若，则＝________.

16．设，n∈N，则f2017(x)＝________．

四、解答题

17．求下列函数的导数.

（1）；             

（2）.

18．求下列函数的导数：

（1）；

（2）；

19．求下列函数的导数：

（1）；

（2）﹔

（3）

20．求与曲线y=f(x)=在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程.

21．函数在点处的切线为．

（1）若与直线平行，求实数的值；

（2）若与直线垂直，求实数的值．

22．设质点M沿x轴作直线运动，且在时刻时，质点所在的位置为，且.

（1）求到这段时间内质点M的平均速度；

（2）求出质点M在什么时刻的瞬时速度等于（1）中求出的平均速度.

参考答案

1．B

【详解】

f′(x)＝－2sin 2x－3，f′＝－2sin π－3＝－3.

故选：B.

2．B

【分析】

求导函数，解不等式，结合定义域即可．

【详解】

函数的定义域为，由，得．

故选：B．

3．B

【详解】

f′(x)＝[ln(2x＋1)]′(2x＋1)′＝.

故选：B

4．A

【分析】

求出函数导数，根据已知即可求出.

【详解】

∵，，解得a＝4.

故选：A.

5．B

【分析】

根据导数的几何意义，对路程公式求导，得出瞬时速度公式，即可求解.

【详解】

,

.

故选：B.

6．B

【分析】

直接利用求导法则求解即可

【详解】

y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x.

故选：B

7．A

【分析】

先利用导数的几何意义求出曲线在点(0，2)处的切线，然后再求出切线与直线y＝0和y＝x的交点坐标，从而可求出三角形的面积

【详解】

∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，

∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，

∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.

如图，由得交点坐标为(，)，

y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1，0)，

∴所求面积为S＝×1×＝.

故选：A

8．C

【分析】

先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出.

【详解】

解：因为，

所以，

把代入，

得，解得：，

所以，所以.

故选：C.

9．BC

【分析】

根据初等函数导数公式和复合函数导数运算法则直接求解可得结果.

【详解】

对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC.

10．AD

【分析】

求导，可得解析式，分析选项，即可得答案.

【详解】

易得，

所以，，

故选：AD.

11．AC

【分析】

对于A，直接求导判断，对于BC，通过计算判断，对于D，由奇偶函数的定义判断

【详解】

解：对于A，，所以A正确，

对于B，因为，所以B错误，

对于C，因为，，所以 ，所以C正确，

对于D，因为，所以是偶函数，所以D错误，

故选：AC

12．ABC

【分析】

求出每一个函数的二阶导数，判断是否在上恒成立,从而得到答案.

【详解】

对于A选项，，

则，

当时，恒有，是凸函数；

对于B选项，，

则，当上，恒有，是凸函数；

对于C选项，若，

则在上恒成立，是凸函数；

对于D选项，若，

则，则在上恒成立，

故不是凸函数.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查导数的计算，考查获得新知识、应用新知识的能力，比较简单.解答时只要准确求出原函数的二阶导数进行分析即可.

13．1

【分析】

求导函数，代入计算可得答案.

【详解】

解：由已知得f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，又f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.

故答案为：1.

14．

【分析】

根据题意，求出函数的导数，进而可得y′|x＝1＝3a+1，由导数的几何意义可得3a+1＝2，计算可得a的值，即可得答案.

【详解】

解：根据题意，曲线y＝ax3+x，其导函数y′＝3ax2+1，

则有y′|x＝1＝3a+1，

若曲线y＝ax3+x在（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6＝0平行，则有3a+1＝2，

解可得：a＝；

故答案为：

15．

【分析】

根据导数的四则运算对函数进行求导，再代入，即可求出的值.

【详解】

解：由题意知，，，，

，

，

，

.

故答案为：.

16．cos x

【分析】

根据正余弦函数的导函数，确定解析式的出现周期，进而写出f2017(x)的解析式.

【详解】

由题设，

易知：的周期为4，而，

∴f2017(x)＝f1(x)＝cos x.

故答案为：cos x

17．（1）；（2）

【分析】

根据基本初等函数的导数公式结合导数的四则运算法则进行计算即可.

【详解】

（1）；

（2）

18．（1）y′＝18x2＋4x－3；（2）y′＝ex(cosx－sinx).

【分析】

利用导数的运算法则求函数的导数即可.

【详解】

（1），

（2）.

19．（1）；（2）；（3）.

【分析】

利用求导公式和法则直接求解即可

【详解】

（1）由，得

，

（2）由，得

，

（3）由，得

20．3x+y-20=0

【分析】

先求导数得切线斜率，由垂直关系可得直线斜率，由点斜式可得解.

【详解】

因为y=，所以y′=()′=()′=，

所以，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.

所以所求直线的斜率为-3，从而所求直线方程为y-8=-3(x-4)，即3x+y-20=0.

21．（1）（2）

【分析】

（1）由题得在处切线斜率，解方程得得解；（2）由题得，解方程得解.

【详解】

解：（1）由题意得：

∴在处切线斜率

∵切线与平行

∴，解得

（2）由（1）知，切线斜率，

∵切线与垂直

∴，

解得．

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，考查直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

22．

（1）

（2）

【分析】

（1）由平均速度公式计算可得；

（2）利用导数求出瞬时速度，再解方程即可；

（1）

解：由题意可知：

，

，

从到这段时间内质点的平均速度：．

（2）

解：

所以质点在时刻的瞬时速度，

，

解得，

故从到这段时间内质点的平均速度，质点在的瞬时速度等于这段时间内的平均速度．