人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-1-2导数的概念及其几何意义课时学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-1-2导数的概念及其几何意义课时学案，共19页。

5.1.2　导数的概念及其几何意义下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题．知识点1　函数y＝f (x)在x＝x0处的导数如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx．简记：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f (x)在(x0，f (x0))处的瞬时变化率．知识点2　导数的几何意义(1)导数的几何意义如图，割线P0P的斜率k＝fx-fx0x-x0．记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx＝f ′(x0)．(2)切线方程曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．知识点3　导函数对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)，即f ′(x)＝y′＝limΔx→0fx+Δx-fxΔx．f ′(x)与f ′(x0)有何关系？[提示]　f ′(x)是f (x)的导函数，f ′(x0)是函数f (x)在x＝x0处的导数值，是f ′(x)在x＝x0时的函数值．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度．(　　)(2)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关，但与x0的值有关．(　　)[答案]　(1)×　(2)√[提示]　(1)导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的．2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是(　　)A．在点(x0，f (x0))处与y＝f (x)的图象只有一个交点的直线的斜率B．过点(x0，f (x0))的切线的斜率C．点(x0，f (x0))与点(0，0)的连线的斜率D．函数y＝f (x)的图象在点(x0，f (x0))处的切线的斜率D　[根据导数几何意义知，只有D正确．在点(x0，f (x0))处的切线可能与函数有多个交点．]3．设f (x)＝2x＋1，则f ′(1)＝________．2　[f ′(1)＝limΔx→0f1+Δx-f1Δx＝limΔx→021+Δx+1-2×1+1Δx＝2．]4．已知函数y＝f (x)的图象在点M(1，f (1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________．3　[由在M点处的切线方程y＝12x＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12．∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3．]5．已知函数f (x)＝x2－12x，则f ′(x)＝________．　2x－12　[∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(Δx)2＋2x·Δx－12Δx，∴ΔyΔx＝2x＋Δx－12，∴f ′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝2x－12．] 类型1　利用定义求函数在某点处的导数【例1】　(1)若函数f (x)在x＝1处的导数为1，则limx→0f1+x-f1x＝(　　)A．2 B．1C．12 D．14(2)已知函数f (x)可导，且满足limΔx→0f3-f3+ΔxΔx＝2，则函数y＝f (x)在x＝3处的导数为(　　)A．－1 B．－2C．1 D．2(3)利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．(1)B　(2)B　[(1)根据导数的定义，limx→0f1+x-f1x＝f ′(1)＝1．(2)由题意，limΔx→0f3-f3+ΔxΔx＝－limΔx→0f3+Δx-f3Δx＝－f ′(3)，所以f ′(3)＝－2．](3)[解]　因为Δy＝11+Δx2+2－112+2＝-Δx2-2Δx1+Δx2所以y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0-2-Δx1+Δx2＝－2．　1．利用定义求函数f (x)的导数的步骤(1)求函数值的改变量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)；(2)求函数的平均变化率ΔyΔx＝fx+Δx-fxΔx；　(3)取极限，得f ′(x)＝limΔx→0ΔyΔx．其中，在第二步求平均变化率时，要注意对ΔyΔx的变形与约分，如果变形或约分不彻底，可能导致极限limΔx→0ΔyΔx不存在；在对ΔyΔx取极限时，必须将ΔyΔx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式，如例1(3)．2．求函数f (x)在某一点x0处的导数，通常可以有两种方法：一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解；二是先利用导数的定义求出函数的导函数，再计算导函数在x0处的函数值．[跟进训练]1．(源于人教B版教材)已知函数f (x)＝－x2，求f (x)在x＝3处的导数f ′(3)．[解]　当自变量在x＝3处的改变量为Δx时，平均变化率ΔfΔx＝f3+Δx-f3Δx＝-3+Δx2--32Δx＝－6－Δx．可以看出，当Δx无限接近于0时，ΔfΔx无限接近于－6，因此f ′(3)＝limΔx→0f3+Δx-f3Δx＝limΔx→0-6-Δx＝－6． 类型2　导数几何意义的理解与应用【例2】　(1)已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　)A．f ′(xA)>f ′(xB)B．f ′(xA)