高中数学新教材选择性必修第二册课件+讲义 第5章 习题课 含参数的函数的最大(小)值

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第5章 习题课 含参数的函数的最大(小)值高中数学新教材选择性必修第二册高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题.随堂演练课时对点练一、求含参数的函数的最值二、由最值求参数的值或范围三、与最值有关的探究性问题一、求含参数的函数的最值例1　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值.解　f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.所以f(x)min＝f(a)＝－a3.②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；当a＝0时，f(x)的最小值为0；延伸探究　当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值.解　f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.反思感悟　含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.跟踪训练1　已知a∈R，函数f(x)＝x2 ，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.令g(a)＝f(x)max，①当2a≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.③当0<2a<2，即00，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.跟踪训练2　已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围.解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝30，当x>1－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1－a)上单调递增，在(1－a，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f (1－a)＝ea－1.1234√1234123412344.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为______，f(x)在[－2,2]上的最大值为______.解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：33所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.12345678910111213141516√又f′(x)＝acos x＋cos 3x，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析　y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，易知当－10，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析　∵f(x)＝3x－x3，∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，123456789101112131415164.已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为A.1 B.2 C.e D.√12345678910111213141516∴当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；123456789101112131415165.已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]√解析　f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.12345678910111213141516√√解析　∵f′(x)＝3x2－3a，且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴00，得x>－2；由f′(x)<0，得x<－2.∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值.12345678910111213141516(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值g(t).12345678910111213141516解　由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∵t>－3，∴t＋1>－2.①当－30，h(x)单调递增.12345678910111213141516∴m≤h(x)max，12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516解析　由题意可得，存在实数x0≠0，使得f(－x0)＝f(x0)成立，假设x0>0，则－x0<0，所以有－kx0＝ln x0，令h′(x)>0，即ln x>1，解得x>e，12345678910111213141516令h′(x)<0，即ln x<1，解得01)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________.4解析　由题意得，f′(x)＝3ax2－3，当a>1时，令f′(x)＝3ax2－3＝0，12345678910111213141516由f(－1)≥0，可得a≤4，综上可得a＝4.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516∵a<0，∴f′(x)>0，故函数在(0，＋∞)上单调递增.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.12345678910111213141516解　当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，12345678910111213141516②当10，f(x)单调递增，课程结束高中数学新教材选择性必修第二册