2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值教师用书新人教A版选择性必修第二册

5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值

1．了解极大值、极小值的概念．(难点)
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)
3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)
1．通过极值点与极值概念的学习，培养数学抽象核心素养．
2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．


“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．
知识点1　极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
1．函数的极大值一定比极小值大吗？
[提示]　极大值与极小值之间无确定的大小关系．在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)极大值一定比极小值大． (　　)
(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值． (　　)
(3)若f ′(x0)＝0，则x0一定是极值点． (　　)
(4)单调函数不存在极值． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[提示]　(1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；
(2)有的函数可能没有极值．∴(2)错；
(3)若f ′(x0)＝0，且导函数有变号零点，x0才是极值点，故(3)错误；
(4)正确．
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)

A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C　[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
知识点2　求可导函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
2．导数为0的点一定是极值点吗？
[提示]　不一定，如f(x)＝x3，f ′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．
3．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是(　　)
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
BC　[对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．]

类型1　不含参数的函数求极值
【例1】　求下列函数的极值：
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2．
[解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3．
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22．
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5．当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,3)
3
(3,5)
5
(5，＋∞)
y′
＋
0
＋
0
－
0
＋
y
↗
无极值
↗
极大值
108
↘
极小值0
↗
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0．

求函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求出函数的定义域及导数f ′(x)；
(2)解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点．


1．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝－2；
(2)f(x)＝．
[解]　(1)函数f(x)的定义域为R．
f ′(x)＝＝－．
令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝1．
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由表格可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1．
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f ′(x)＝．
令f ′(x)＝0，解得x＝e．
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
类型2　含参数的函数求极值
【例2】　已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．

利用求函数极值的方法求解，在含参数的值比较大小时，可以分类讨论．

[解]　∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f ′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，
令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝．
①当a＞0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x





f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝时，函数f(x)取得极大值，为f ＝；
当x＝时，函数f(x)取得极小值，为f ＝0．
②当a＜0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x





f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝时，函数f(x)取得极大值，为f ＝0；
当x＝时，函数f(x)取得极小值，为f ＝．
综上，当a＞0时，函数f(x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0；
当a＜0时，函数f(x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值．

1．判断一个函数是否有极值的方法
判断一个函数是否有极值，不仅要求解f ′(x)＝0，还要根据函数的极值定义，函数在某点处若存在极值，则应在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反；若单调性相同，则不是极值点．
2．分类讨论求极值
求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．


2．若函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
[解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝．
(1)当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．
(2)当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝a．
当0＜x＜a时，f ′(x)＜0；当x＞a时，f ′(x)＞0．
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
类型3　由极值求参数的值或取值范围
【例3】　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(　　)
A．4或－3 B．4或－11
C．4 D．－3
(2)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex．
①若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
②若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．

(1)根据条件可知f ′(1)＝0且f(1)＝10．可以求解；
(2)①由f ′(2)＝0解得a值；第②问f ′(1)＝0．待检验后求出a值．

(1)C　[∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b．
由题意得
即解得或
当时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故函数f(x)单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝4．故选C．]
(2)[解]　①因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f ′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，则f ′(2)＝(2a－1)e2，
由题设知f ′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝．
②由①得f ′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)·(x－1)ex，
若a>1，则当x∈时，f ′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0．
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1＜0，
所以f ′(x)＞0，所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．

已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．


3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值．
[解]　∵f ′(x)＝3x2＋6ax＋b且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，且仅当x＝－1时，
f ′(x)＝0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)·(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＞0，此时f(x)单调递增；
当x∈(－3，－1)时，f ′(x)＜0，此时f(x)单调递减；
当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)＞0，此时f(x)单调递增．
故f(x)在x＝－1处取得极小值．
∴a＝2，b＝9．
类型4　极值问题的综合应用
【例4】　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实数根，求实数a的取值范围．

求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实数根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．

[解]　令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1．
当x<－1时，f ′(x)>0；
当－1 当x>1时，f ′(x)>0．
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a．
因为方程f(x)＝0有三个不同实数根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．

由已知应有
解得－2 [母题探究]
1．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解]　由例题知，函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，
若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2．
2．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实数根，求实数a的范围．
[解]　由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实数根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2．

解决函数零点的注意点
(1)研究函数零点(方程根)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、极大值、极小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
(2)解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．


4．求函数g(x)＝x－－4ln x－2的零点个数．
[解]　g(x)＝x－－4ln x－2，
所以g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3．
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0，
当x＞3时，g(e5)＝e5－－20－2＞25－1－22＝9＞0．
又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，
因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点．

1．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值点，且x＝1是f(x)的极小值点，则(　　)
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
C　[由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值点，所以当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0．故选C．]
2．设三次函数f(x)的导函数为f ′(x)，函数y＝xf ′(x)的图象的一部分如图所示，则(　　)

A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
D　[当x＜－3时，y＝xf ′(x)＞0，即f ′(x)＜0；当－3＜x＜3时，f ′(x)≥0；当x＞3时，f ′(x)＜0．所以f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．故选D．]
3．设函数f(x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
D　[令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1．当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0．故当x＝－1时，f(x)取得极小值．]
4．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的极大值为________．
－1　[f ′(x)＝－1＝，∵x∈R，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，∴x＝1处取得极大值，即f(x)极大值＝f(1)＝－1．]
5．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)函数极值的求解依据与步骤是什么？
[提示]　一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是：
①求出函数的定义域及导数f ′(x)；
②解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
③用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
④由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点．
(2)如果函数f(x)在[a，b]连续不断且有极值的话，它的极值点有规律吗？
[提示]　如果函数f(x)在[a，b]上有极值的话，那么它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点．同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b]上的图象连续且有有限个极值点时，函数f(x)在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的．
(3)已知函数的零点(方程根)的个数，求参数的取值范围有哪些常用的方法？
[提示]　常用的方法有三种：
①直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
②分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
③数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．