人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-3-2第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用课时学案

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第3课时　导数在函数有关问题及实际生活中的应用如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC＝1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC＝1.6 km．现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上．已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元．那么，铺设输油管的最少花费是多少？知识点1　函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f (x)的大致图象：(1)求出函数f (x)的定义域；(2)求导数f ′(x)及函数f ′(x)的零点；(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，并得出f (x)的单调性与极值；　(4)确定f (x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f (x)的大致图象．知识点2　用导数解决优化问题的基本思路1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域． (　　)(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去． (　　)(3)如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值为πl3216． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√2．函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DD　[当x＝0时，y＝2，排除A，B；y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，由f ′(x)＞0得2x(2x2－1)＜0，得x＜－22或0＜x＜22，此时函数单调递增，排除C．故选D．] 类型1　利用导数研究函数的图象【例1】　函数y＝x3ex(其中e为自然对数的底数)的大致图象是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DB　[法一：由函数y＝x3ex可知，当x＝0时，y＝0，排除C；当x＜0时，y＜0，排除A；y′＝3x2ex-x3exex2＝x23-xex，当x＜3时，y′＞0，当x＞3时，y′＜0，∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B．法二：由函数y＝x3ex可知，当x＝0时，y＝0，排除C；当x＜0时，y＜0，排除A；当x→＋∞时，y→0．故选B．]　由解析式研究图象常用的方法根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法，如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等．[跟进训练]1．函数f (x)＝x2lnx2x的图象大致为(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DB　[由f (x)＝x2lnx2x得：f (－x)＝-x2ln-x2-x＝x2lnx2x＝f (x)，故其为偶函数，图象关于y轴对称，故排除D；f (2)＝2ln 4＞0，故排除A；当0＜x＜1时，f (x)＝2x ln x，f ′(x)＝2(1＋ln x)，可得x∈0，1e时，f ′(x)＜0，函数单调递减，当x∈1e，1时，f ′(x)＞0，函数单调递增，故排除C．故选B．] 类型2　用导数研究方程的根【例2】　若函数f (x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f (x)取得极值－43．(1)求函数f (x)的解析式；(2)若方程f (x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围．[思路引导]　(1)由x＝2时函数f (x)的极值为－43，建立a、b的等量关系求解；(2)根据函数f (x)的单调性画出函数的草图，数形结合求解．[解]　(1)对f (x)求导得f ′(x)＝3ax2－b，由题意得f'2=12a-b=0，f2=8a-2b+4=-43，解得a＝13，b＝4(经检验满足题意)．∴f (x)＝13x3－4x＋4．(2)由(1)可得f ′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．令f ′(x)＝0，得x＝2或x＝－2．∴当x<－2或x>2时，f ′(x)>0；当－20，a≠1)有两个不等实根”，试求a的取值范围．[解]　由ax＝x知x＞0，故x·ln a－ln x＝0⇒ln a＝lnxx，令f (x)＝lnxx(x＞0)，则f ′(x)＝1-lnxx2．当x∈(0，e)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，故当x＝e时，f (x)取得最大值f (e)＝1e，即ln a＜1e，即a＜e1e．画出函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝x的图象(图略)，结合图象可知，若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，则a＞1．综上可知，实数a的取值范围为1，e1e．　函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据函数零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的统一．[跟进训练]2．已知函数f (x)＝xe2x－1，则函数f (x)的极小值为________，零点有________个．－12e－1　1　[∵f (x)＝xe2x－1，f ′(x)＝e2x＋2xe2x＝(1+2x)e2x，令f ′(x)＝0，可得x＝－12，如表所示：∴函数y＝f (x)的极小值为f -12＝－12e－1．f (x)＝0⇒e2x＝1x，则函数y＝f (x)的零点个数等于函数y＝e2x与函数y＝1x的图象的交点个数，如图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f (x)只有一个零点．故答案为：－12e－1；1．] 类型3　导数在生活实际问题中的应用【例3】　(源于人教B版教材)如图所示，现有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积V m3是截下的小正方形边长x m的函数．(1)写出函数的解析式；(2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？[思路引导]　当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小；反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大．但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值．[解]　(1)根据题意可知，容器底面的边长为(1.2－2x)m，高为x m，于是V＝(1.2－2x)2x，又因为显然x的长度必须小于原有正方形边长的一半，因此00，可解得x<0.2．因此可知V在(0，0.2]上单调递增，在[0.2，0.6)上单调递减．故V在x＝0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值．即截去的正方形边长为0.2 m时，容器的容积最大．　解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．(2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．[跟进训练]3．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y(元)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大．[解]　(1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0，得x1＝12，x2＝－23(舍)，当0＜x＜12时，y′＞0；12＜x＜1时，y′＜0，∴函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝12时取得极大值也是最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为20×1+12＝30元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大．1．(多选)若函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，则导函数f ′(x)的图象可能是(　　)A　　 　　　　　　BC　　 　　　　　　　　DABC　[若函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，即f (x)有极值点，则必须f ′(x)有零点，且f ′(x)在零点左右两侧异号．由图象可知选项D中，f ′(x0)＝0，但当x＜x0，x＞x0时都有f ′(x)＞0，故不符合题意．故选ABC．]2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x260-x2(00，此时V(x)单调递增；当400．所以当x＝4时，y最小．]2．设函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f (x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f (x)图象的是(　　)A　 　 　B　　　 　C　　　 　DD　[因为[f (x)ex]′＝f ′(x)ex＋f (x)(ex)′＝[f (x)＋f ′(x)]ex，且x＝－1为函数f (x)ex的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0．选项D中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0．故选D．]3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　)A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件C　[因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当00．所以函数y＝－13x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以当x＝9时，函数取得极大值，也是最大值，所以当x＝9时，该生产厂家获得最大年利润．]4．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5 m，要使它的容积最大，则容器底面的宽为(　　)A．0.5 m B．0.7 mC．1 m D．1.5 mC　[设宽为x m，则长为(x＋0.5)m，因为总长为14.8 m，所以高为(3.2－2x)m，00)，f ′(x)＝1-lnxx2，所以f (x)在区间(0，e)上f ′(x)>0，f (x)单调递增；在区间(e，＋∞)上f ′(x)<0，f (x)单调递减，由于e<3<π，所以lnee>ln33>lnππ，所以lnee>ln33⇒3ln e>eln 3⇒ln e3>ln 3e⇒3elnππ⇒πln e>eln π⇒ln eπ>ln πe⇒πelnππ⇒πln 3>3ln π⇒ln 3π>ln π3⇒π3<3π．所以不等式正确的个数为3．]11．(多选)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是(　　)A．a＝－3，b＝2 B．a＝－3，b＝－3C．a＝－3，b＞2 D．a＝1，b＝2BCD　[记f (x)＝x3＋ax＋b，a＝－3，b＝2时，f (x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)＝0，x＝1或x＝－2，不满足题意；a＝－3，b＝－3时，f (x)＝x3－3x－3，f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，而f (x)极大值＝f (－1)＝－1＜0，f (x)只有一个零点，即f (x)＝0只有一个实根；同理a＝－3，b＞2时，f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，而f (x)极小值＝f (1)＝b－2＞0，f (x)只有一个零点，即f (x)＝0只有一个实根；a＝1，b＝2时，f (x)＝x3＋x＋2＝(x＋1)(x2－x＋2)＝0，只有一个实根－1，故选BCD．]12．定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足：∀x>0有f (x)＋xf ′(x)>0成立且f (1)＝2，则不等式f (x)<2x的解集为________．　(0，1)　[设h(x)＝xf (x)，因为h′(x)＝(xf (x))′＝f (x)＋xf ′(x)，又因为∀x>0有f (x)＋xf ′(x)>0成立，所以函数h′(x)>0，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增．x∈(0，＋∞)，f (x)<2x⇔xf (x)<2，即h(x)<2＝1·f (1)＝h(1)．因为h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以00；当x>25时，y′<0．因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．]14．已知函数f (x)＝ex＋1x-a，a∈R，试讨论函数f (x)的零点个数．[解]　函数f (x)的定义域为{x|x≠a}．(1)当x>a时，ex>0，x－a>0，∴f (x)>0，即f (x)在(a，＋∞)上无零点．(2)当xa－1时，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，a)上单调递增，∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea-1．∴当a＝1时，g(a－1)＝0，则x＝a－1是f (x)的唯一零点；当a<1时，g(a－1)＝1－ea-1>0，则f (x)没有零点；当a>1时，g(a－1)＝1－ea-1<0，则f (x)有两个零点．15．某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近村民工作，已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为g(x)万元，已知g(x)＝11.8-130x20＜x≤10，154x-2 0003x2x＞10．(1)请写出月利润y(万元)关于月产量x(千件)的函数解析式；(2)月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润(精确到0.1万元)．[解]　(1)当0＜x≤10时，y＝x11.8-130x2－20－5.4x＝6.4x－130x3－20，当x＞10时，y＝154x-2 0003x2x－20－5.4x＝134－21 0003x+2.7x，∴y＝6.4x-130x3-20，0＜x≤10，134-21 0003x+2.7x，x＞10．(2)①当0＜x≤10时，y′＝6.4－110x2，令y′＝0可得x＝8，x∈(0，8)时，y′＞0，x∈(8，10]时，y′＜0，∴x＝8时，ymax＝21215≈14.1(万元)．②当x＞10时，y＝134－21 0003x+2.7x≤134－120＝14(万元)(当且仅当x＝1009时取等号)．综合①②知：当x＝8时，y取最大值14.1，故当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元．学习任务1．进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．(数学运算)2．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．(数学运算、逻辑推理)x-∞，-12－12-12，+∞f ′(x)－0＋f (x)单调递减极小值单调递增