高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用 章节复习 教学设计

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第五章 一元函数的导数及其应用 章节复习 夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络重点1 正确理解导数定义，了解掌握利用导数定义解决导数问题例1（1）若，则___________.【解析】令 则原式可变形为.【答案】例1（2）已知在处可导，且， 则等于（ ）A． B. C. D. 【解析】，故选B重点2 正确理解导数的几何意义，掌握解决有关切线的问题例2（1）曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 【解析】由已知得，即，故选A例2（2）函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为为正整数，，则_______.【解析】由已知，，点处的切线的斜率，在点处的切线方程为当时，解得，所以.【答案】21例2（3）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解析】由已知得，所以，解得，故选D重点3 快速利用求导公式以及运算法则正确求出函数导数例3（1）设若则（ ）A. B. C. D. 【解析】由已知得，所以，故选B例3（2）等比数列中，，函数，则（ ）A． B. C. D. `【解析】观察函数形状，变形为所以所以，故选C例3（3）函数，满足，则________.【解析】由已知，所以所以【答案】重点4 利用导数解决函数的单调性问题例4（1）函数的递增区间为___________________.【解析】由已知，由得，解得或，所以的递增区间为和【答案】和例4（2）函数，若在其定义域内为单调函数，则的取值范围为_________．【解析】由已知的定义域为，若在内为单调函数，则或在区间上恒成立当时，，在单调递减当时，方法一：，要使在上恒成立 只须，解得， 综上， 方法二：，令，则在上恒成立 满足，所以，其余同上. 方法三：，因为，所以只有在上恒成立 即在上恒成立，即在上恒成立 又，所以当且仅当时成立，所以，其余同上.例4（3）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．【解析】（1）当时， 所以令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减.（2）,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.重点5 利用导数解决函数的极值问题、最值问题例5（1）函数的极大值是________，极小值是________．【解析】由已知 由得，即或，在和上单调递增 由得，即，在上单调递减 所以，【答案】例5（2）已知（Ⅰ）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（Ⅱ）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值. 【解析】（Ⅰ）已知，，依题意，在能成立，即在能成立，令，则只须，又，因此时，函数在上存在单调递增区间.（Ⅱ）令所以在和上单调递减，在上单调递增当时，有，所以在区间上的最大值为 又 所以在上的最小值为 从而在区间上的最大值为例5（3）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．【解析】（1）由已知，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，由，解得或，由，解得，所以在上单调递减，在，上单调递增.（2）由（1）知，若有三个零点，则，且，即，所以，解得，所以的取值范围为.重点6 利用导数解决实际问题例6（1）某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为,则银行获得最大收益的存款利率为(　　)A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%【解析】依题意知,存款量是,银行应支付的利息是,银行应获得的利息是0.048,所以银行的收益，所以令,得或 (舍去). 因为,所以当时, ，当时, .因此,当时, 取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大收益. 故选A.例6（2）如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边的中心为.为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 .【解析】如图，连接交于点，设重合于点，正三角形的边长为，则. ， ，三棱锥的体积.设，，则，令，则，解得，易知在处取得最大值.∴.【答案】二、拓展思维，熟知方法1. 已知为偶函数，当 QUOTE x<0 \* MERGEFORMAT 时， QUOTE fx=ln-x+3x \* MERGEFORMAT ，则曲线在点处的切线方程是____________．【解析】当时，，则．又为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【答案】2. 已知函数有唯一零点，则（ ）A． B． C． D．1【解析】方法一：，令，则，，是偶函数因为有唯一零点，所以也有唯一零点由偶函数性质知，即，所以，故选C方法二：由得因为，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号若，则，要使有唯一零点，则必有，即若，则的零点不唯一，故选C方法三：函数的零点满足，设，则，当时，，当时，，函数 单调递减，当时，，函数 单调递增，所以当时，函数取得最小值，设 ，当时，函数取得最小值 ，若，函数与函数没有交点，当时，时，此时函数和有一个交点，即，解得 .故选C.三、感悟问题，提升能力1. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）A. B. C. D. 【解析】由已知所以，，点即为将代入得，故选D．2. 若直线与曲线和都相切，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【解析】设直线在曲线上的切点为，则，由已知得，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，即，解得，（舍），则直线的方程为，即. 故选D.3. 设函数.若实数满足,则(　　)A. B. C. D. 【解析】因为,所以在其定义域内是单调递增的,由知,又因为, ,故在上也是单调递增的,由知,所以, ,因此. 故选A.4. 已知上可导函数的图象如图所示,则不等式的解集为　　　　.【解析】由曲线以及函数的单调性,可知,或不等式,即或，所以或所以【答案】5. 已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）由 得，当时，，有， 在上单调递增当或时，由得 由或由在和单调递增，在单调递减.（Ⅱ）若函数在区间内是减函数，则有在区间恒成立只需的取值范围是6. 设为实数，函数.（Ⅰ）求的单调区间及极值；（Ⅱ）求证：当且时，【解析】（Ⅰ）由已知得由得，所以，由得，所以的变化如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，（Ⅱ）证明：欲证，即证设，即证且时，可得（这个形式下不易解）令，则由，由所以当且时，，所以在上成立因此，即所以当且时，7. 已知各项均为正数的数列满足，且其中.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令记数列的前项积为其中，试比较与的大小，并加以证明.【解析】（Ⅰ）由得所以数列是以为公比的等比数列 由，所以数列的通项公式为（Ⅱ），证明如下：构造函数,则，所以在上递减所以，故，所以.设则，相减得故 －0＋单调递减极小值单调递增