（新教材）第五章 一元函数的导数及其应用 知识点总结 课件+教学设计+同步练习

课题

第五章《一元函数的导数及其应用》章末总结

教学目标

1. 知识目标

掌握导数的几何意义、导数的四则运算、简单复合函数的导数；掌握导数的正负与函数的单调性的关系；能够利用导数求函数的极值与最值。

2. 能力目标

能够熟练运用导数知识解决与导数有关的问题。

3. 情感目标

培养学生的数学运算、直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

教学重点

利用导数求函数的单调区间、极值与最值，及与导数有关的解不等式、求参数取值范围的问题。

教学难点

与导数有关的不等式问题及求参数的取值范围问题。

教学准备

1.          教师准备：课件及章末检测题
2.          学生准备：做好知识梳理

教学过程

1. 热身活动

一、知识梳理

1.设函数在区间上有定义，，若时，比值      无限趋近于一个常数,则称在处          ，并称该常数为函数在在处的         记作：         

2.导数的几何意义是                                                              

3、若函数对于区间内任意一点都    ，则函数在各点的导数也会随着自变量的变化而变化，因此也是自变量的函数，该函数称为的       记作：        在不引起混淆的情况下，导函数简称为的      

4.常见函数的导数：

①            ②      

③                ④     

⑤                          ⑥          

⑦            ⑧          

⑨          

⑩                         ⑪               

5.函数的和、差、积、商的导数：

①                        

②                   

③                    

④                    

6.设函数均可导，那么复合函数的也可导，且               

特别地，若， 则                   

7.利用导数判断函数单调性：

设函数在某个区间内可导，

①该区间内为           ； 

②该区间内为           ；

注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。

③在该区间内单调递增在该区间内恒成立；

④在该区间内单调递减在该区间内恒成立；

8.极小值点与极小值：

如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

9.极大值点与极大值：

如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数________的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．__________、__________统称为极值点，__________和_________统称为极值．

特别提醒：

①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。

②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记. 

10.函数的最值:

（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;

（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最值.

（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：

①求在内的极值；

②将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值.

2. 新知呈现与操练

题型一：导数几何意义的应用：

（1）已知切点P(x0，y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．

②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

题目见课件

题型二：利用导数求函数的单调性

由函数的单调性求参数的取值范围的方法：

（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．

（4）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．

题型三：利用导数求函数的极值与最值：

（1）求极值的基本步骤：

（2）求最值的基本步骤：

题型四：利用导数解不等式问题：

证明不等式的基本方法：

(1)  利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则①∀x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),

②∀x1,x2∈[a,b],且x1<x2,有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论.

(2) 利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则∀x∈D,有

f(x)≤M(或f(x)≥m).

(3)构造法:如若证明f(x)<g(x),可构造函数F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)<0.

3. 巩固拓展

见课件：

4. 总结

板书设计

第五章 一元函数的导数及其应用

课后作业

章末检测题