高中数学新教材选择性必修第二册课件+讲义 第5章 5.1.2 第1课时 导数的概念

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第5章 5.1.2 第1课时 导数的概念高中数学新教材选择性必修第二册高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与 思想.同学们，经过上节课的学习，我们把物理中的平均速度和瞬时速度对应到了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法，从此也可看出，现实中的瞬时速度实际上是不存在的，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短时间内拍两次，然后看你发生的位移，原理也是极限的思想，但在几何上，曲线的切线斜率却是存在的，今天我们继续研究更一般的问题.随堂演练课时对点练一、导数的概念二、导数定义的直接应用三、导数在实际问题中的意义一、导数的概念问题　瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？提示　瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率.实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就有了瞬时变化率在数学中的意义.注意点：(1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数；(2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价.可导x＝x0导数f′(x0)例1　已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01；解　∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解　当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.反思感悟　求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.跟踪训练1　求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.解　函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.二、导数定义的直接应用例2　求函数y＝x－ 在x＝1处的导数.从而y′|x＝1＝2.反思感悟　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).跟踪训练2　(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为A.2x B.2 C.2＋Δx D.1√(2)已知f(x)＝ ，且f′(m)＝－ ，则m的值等于A.－4 B.2 C.－2 D.±2√三、导数在实际问题中的意义例3　(教材P65例2改编)航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？解　h(0)表示航天飞机发射前的高度；h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度；h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度.(2)求第2s内的平均速度；解　航天飞机升空后第2 s内的平均速度为(3)求第2s末的瞬时速度.因此，第2s末的瞬时速度为225 m/s.反思感悟　导数的物理意义是：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率.解　当0≤t<3时，s(t)＝3t2，当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2，s′(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，s′(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分.1.知识清单：(1)导数的概念.(2)导数定义的直接应用.(3)导数在实际问题中的意义.2.方法归纳：定义法.3.常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位.12341.函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是A.0 B.1 C.2 D.Δx√1234√12343.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则 等于A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2√12344.已知函数f(x)＝ ，则f′(1)＝____.123456789101112131415161.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是A.1 B.－1C.2 D.－2√12345678910111213141516√123456789101112131415163.设函数f(x)在x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则A.f′(x)＝a B.f′(x)＝bC.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝b√123456789101112131415164.已知某质点的运动方程为s＝2t2－t，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在2s末的瞬时速度为A.3 m/s B.5 m/s C.7 m/s D.9 m/s√所以该质点在2s末的瞬时速度为7 m/s.1234567891011121314155.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于A.－2 B.2 C.－1 D.116√解析　∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，123456789101112131415166.(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值A.与x0有关 B.与h有关C.与x0无关 D.与h无关√√解析　由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD.123456789101112131415167.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝____.3又因为f′(1)＝3，所以a＝3.123456789101112131415168.已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝____.9所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9.123456789101112131415169.求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，1234567891011121314151610.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义.f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.12345678910111213141516√解析　令x→0，则Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，1234567891011121314151612.已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间　的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间　的平均变化率C.对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)　在x＝x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x　＝x0处的瞬时变化率√12345678910111213141516又∵f(b)＝g(b)，f(a)＝g(a)，∴A，B错误；易知函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率，12345678910111213141516同理可得，函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，即函数g(x)在该点处的切线的斜率，由题中图象可知，当x0∈(a，b)时，函数f(x)在x＝x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x＝x0处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x＝x0处切线的斜率，故C错误，D正确.123456789101112131415161234567891011121314151614.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.[x3，x4]12345678910111213141516结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].1234567891011121314151615.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则　　 的最小值为____.21234567891011121314151616.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？12345678910111213141516解　山路从A到B高度的平均变化率为12345678910111213141516山路从B到C高度的平均变化率为∵hBC>hAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多.课程结束高中数学新教材选择性必修第二册