2023新教材高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式教师用书新人教A版选择性必修第二册

4.2.1　等差数列的概念

第1课时　等差数列的概念及通项公式

知识点1　等差数列的概念

1．等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？

[提示]　第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．

2．在数列{an}中，若an＝2n＋3，该数列是等差数列吗？

[提示]　因为an＋1－an＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2(常数)，所以该数列是等差数列．

知识点2　等差中项

(1)条件：如果a，A，b成等差数列．

(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．

(3)满足的关系式是 a＋b＝2A．

3．观察下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0．

[提示]　插入的数分别为3,2，，0．

知识点3　等差数列的通项公式

首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．

4．由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？

[提示]　只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．

在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，a7＝________．

28　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28．]

知识点4　从函数角度认识等差数列{an}

若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；

(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．

类型1　等差数列的通项公式

【例1】　(1)已知a7＝，d＝－2，求a1；

(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75．

[解]　(1)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，

∴a1＝．

(2)法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得

故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24．

法二　∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24．

法三　已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8，a60＝20得解得

∴a75＝75×＋4＝24．

求等差数列的通项公式的两种思路

(1)设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式．

(2)已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式．

注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．

1．(1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　)

A．20 B．30

C．40 D．50

(2)在数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两实数根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________．

(1)C　(2)3　[(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．

由题意得5a1＋30d＝100，所以a1＋6d＝20．

又因为3a9－a13＝2(a1＋6d)，所以3a9－a13＝40．故选C．

(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两实数根，所以a3＋a10＝2a1＋11d＝3，所以a5＋a8＝2a1＋11d＝3．]

类型2　等差中项的应用

【例2】　(1)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．

(2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．

(1)6　[由题意得

∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，

∴＝6．]

(2)[解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列，

∴b是－1与7的等差中项，

∴b＝＝3．

又∵a是－1与3的等差中项，

∴a＝＝1．

又∵c是3与7的等差中项，

∴c＝＝5．

∴该数列为：－1,1,3,5,7．

等差中项应用策略

(1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝．

(2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列．

2．若等差数列的前三项分别为a,2a－1,3－a，求其第2 022项．

[解]　由等差中项公式可得2(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝，所以首项为，公差为－＝，所以数列的通项公式为an＝＋(n－1)×＝n＋1，故其第2 022项为a2 022＝×2 022＋1＝．

类型3　等差数列的判定与证明

【例3】　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．

(1)数列是否为等差数列？说明理由．

(2)求an．

根据条件能否发现与之间的关系，由此是否可以证明呢？

[解]　(1)数列是等差数列，理由如下．

∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，

∴－＝，

即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．

(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝．

等差数列的三种判定方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．

(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．

但如果要证明一个数列是等差数列，那么必须用定义法或等差中项法．

3．在数列{an}中，已知a1＝，且2an＋1＝an＋，bn＝2nan，求证：数列{bn}为等差数列．

[解]　法一(通解通法)　由2an＋1＝an＋得an＋1＝an＋，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1·－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列．

法二(巧思妙解)　在2an＋1＝an＋的两边同时乘2n得2n＋1·an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列．

1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)

A．是公差为－3的等差数列

B．是公差为5的等差数列

C．是首项为5的等差数列

D．是公差为n的等差数列

A　[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)，对比an＝－3n＋5，故公差为－3．故选A．]

2．(多选题)已知数列{an}满足an＋1＝an－3，n∈N*，a1＝27，则下列说法正确的是(　　)

A．该数列为等差数列 B．公差为3

C．a5＝15 D．－3是该数列的第11项

ACD　[由条件可知an＋1－an＝－3，∴该数列为等差数列，公差为－3，这时an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11，故ACD正确．]

3．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)

A．8 B．12

C．16 D．24

C　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则由a2＝2，a5＝8，得解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16．故选C．]

4．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为________．

　[＝＝＝．]

5．已知正项等差数列{an}满足a1a2＝3，a2a3＝15，则a5＝________．

9　[设等差数列{an}的公差为d，而{an}是正项数列，则a1＞0，d＞0，

因为则整理得d＝2a1，而a1(a1＋d)＝3，

解得a1＝1，d＝2(负值舍去)，则有a5＝1＋(5－1)×2＝9，所以a5＝9．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)等差数列的概念中，应从哪几个方面理解？

[提示]　等差数列的概念是非常严密的，要抓住“从第2项起”“后项与前项的差”“同一个常数”三个关键点进行理解．

(2)任何两个数都有等差中项吗？

[提示]　任何两个数都一定有等差中项，有且只有一个，这个等差中项就是它们的算术平均数，即a与b的等差中项为．

(3)如何判断数列为等差数列？

[提示]　判断一个数列为等差数列可用以下几种方法：①定义法，an＋1－an＝常数；②等差中项法，an＋an＋2＝2an＋1；③通项法，即an＝dn＋b．(d，b为常数)．

(4)等差数列的单调性与哪些量有关？

[提示]　等差数列的单调性只与公差d有关．

d＞0⇔等差数列{an}是递增数列；

d＝0⇔等差数列{an}是常数列；

d＜0⇔等差数列{an}是递减数列．