人教A版高中数学选择性必修第二册第5章微专题4导数法研究恒成立问题课时学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第5章微专题4导数法研究恒成立问题课时学案，共7页。

微专题4　导数法研究恒成立问题用导数研究恒成立问题时，一般我们既要对函数和方程的形式进行特别的观察，又要时刻注意数形结合帮助我们理解题意，需要灵活的选择合适的方法解决问题，常见的用导数解决恒成立的方法有分离变量法、分类讨论法、等价转化法等，下面进行举例说明． 类型1　分离变量法【例1】　设函数f (x)＝x3＋12x2－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]有f (x)0，所以f (x)在-1，23上单调递减，在23，2上单调递增．因为f (－1)＝132，f (2)＝11，所以f (x)max＝11．因为对任意的x∈[－1，2]有f (x)11．故选C．] 类型2　分类讨论法【例2】　已知函数f (x)＝3x＋sin x cos x－a cos x在R上单调递增，则实数a 的取值范围是(　　)A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－42，42]D．(－∞，－42]∪[42，＋∞)A　[f ′(x)＝3＋cos 2x＋a sin x＝3＋1－2sin2x＋a sinx＝4－2sin2x＋a sinx，函数f (x)＝3x＋sin x cos x－a cos x在R上单调递增，所以f ′(x)≥0在R上恒成立，令t＝sin x(－1≤t≤1)，即4－2t2＋at≥0在R上恒成立，即2t2－at－4≤0在－1≤t≤1上恒成立．当t＝0时，不等式显然成立．当00恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]A　[f ′(x)＝ex－1，令f ′(x)>0，解得：x>0，令f ′(x)<0，解得：x<0，故f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x)min＝f (0)＝1＋a，若f (x)>0恒成立，则1＋a>0，解得：a>－1，故选A．]2．已知不等式x sin x＋cos x≤a对任意x∈[0，π]恒成立，则整数a的最小值为(　　)A．2 B．1C．0 D．－1A　[设f (x)＝x sin x＋cos x，则f ′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，当00，f (x)单调递增，当π2x2－3x在x∈[1，＋∞)恒成立，即a>－13x3＋2x2－3x在x∈[1，＋∞)恒成立，令h(x)＝－13x3＋2x2－3x，x∈[1，＋∞)，即a>h(x)max，h′(x)＝－x2＋4x－3，x∈[1，＋∞)，当10，h(x)单调递增，当x>3时，h′(x)<0，h(x)单调递减，所以，当x＝3时，函数h(x)取得最大值，且最大值为0，所以实数a的取值范围是(0，＋∞)，故选A．]二、填空题6．函数f (x)＝x3－2x＋c，g(x)＝ln x＋1，若f (x)≥g(x)恒成立，则实数c的取值范围是________．c≥2　[由f (x)≥g(x)，即x3－2x＋c≥ln x＋1，即c≥－x3＋2x＋ln x＋1．令h(x)＝－x3＋2x＋ln x＋1(x>0)，h′(x)＝－x-13x2+3x+1x，故函数h(x)在区间(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，最大值为h(1)＝2，所以c≥2．]7．已知函数f (x)＝ln x－x，若f (x)－m＋1≤0恒成立，则m的取值范围为________．[0，＋∞)　[∵f (x)＝ln x－x，则f (x)－m＋1≤0恒成立，等价于m≥ln x－x＋1．令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)，则g′(x)＝1x－1＝1-xx(x>0)，因此g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故g(x)max＝g(1)＝0，∴m≥0，故答案为[0，＋∞)．]8．当x∈[－1，2]时，x3－12x2－2x0，f (x)单调递增；当x∈-23，1时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，又由f -23＝2227，f (2)＝2，即f -232，即实数m的取值范围是(2，＋∞)．故答案为(2，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x)＝aex－x－1(1)若f (x)≥0对于任意的x恒成立，求a的取值范围；(2)证明：1＋12＋13＋…＋1n≥ln (n＋1)对任意的n∈N＋恒成立．[解]　(1)若f (x)≥0，故aex≥x＋1，即a≥x+1ex．设G(x)＝x+1ex，G′(x)＝-xex，令G′(x)＝0可得G(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故G(x)的最大值为G(0)＝1，故a的取值范围为[1，＋∞)．(2) 由(1)可得当a＝1时，ex≥x＋1，即x≥ln (x＋1)，令x＝1n可得1n≥ln 1n+1，即1n≥ln n+1n，从而可得11≥ln 21，12≥ln 32，…，1n≥ln n+1n．累加化简可得1＋12＋13＋…＋1n≥ln (n＋1)．