人教A版 (2019) 选择性必修 第二册 第五章一元函数的导数及其应用单元检测题（综合提升篇）

第五章一元函数的导数及其应用单元检测题（综合提升篇）

一、单选题

1．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

2．设为可导函数，且满足，则为（    ）

A．1 B．

C．2 D．

3．已知函数，则（    ）

A． B．1 C． D．

4．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（    ）

A．12 B． C．24 D．

5．已知函数在处的导数为，则 等于（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数是偶函数，则函数的所有极值之和等于（    ）

A． B． C．3 D．4

7．已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则函数的单调性（    ）

A．在单调递减 B．在单调递减

C．在单调递减 D．在上单调递减

8．已知函数，则满足的实数x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．如图是y= 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ）

A．当x=﹣1时，取得极小值

B． 在[﹣2，1]上是增函数

C．当x=1时，取得极大值

D． 在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数

10．若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

11．[多选]若函数的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是（    ）

A． B．

C． D．

12．（多选）已知函数，则（    ）

A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点

C．的极小值点为 D．

三、填空题

13．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.

14．已知函数，则在区间上的最大值是________.

15．已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是_________．

16．已知函数，若对于任意的且，都有成立，则的取值范围是________.

四、解答题

17．已知曲线.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求与直线平行的曲线的切线方程.

18．已知函数．

（1）若，求函数在区间上的最大值；

（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．

19．已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．

（1）求a的值；

（2）求的单调区间．

20．已知函数，.

（1）选择下列两个条件之一；①；②；判断在区间是否存在极小值点，并说明理由；（其中）（注：若两个条件都选择作答，按第一个条件作答内容给分）

（2）已知，设函数.若在区间上存在零点，求实数的取值范围.

21．已知是函数的一个极值点.

（1）求的值；

（2）证明：.

22．已知函数.

（1）若在上有零点，求实数的取值范围；

（2）若，记在上的最小值为，求的取值范围.

参考答案

1．A

【分析】

先求出和切线的斜率为，再利用直线的点斜式方程得解.

【详解】

因为，所以，

所以，，所以切线的斜率为，

所求切线方程为，即.

故选：A

2．B

【分析】

利用导数的定义进行求解.

【详解】

因为，

所以，

即

所以.

故选：B.

3．C

【分析】

由基本初等函数的导数公式，结合复合函数的导数运算法则求，进而求.

【详解】

，，

∴，

当时，.

故选：C

4．C

【分析】

对求导得，根据已知有即可求，进而求.

【详解】

由，得，

∵当时，，解得，

∴，

∴当时，.

故选：C.

5．B

【分析】

根据导数的定义可得，将所求的式子整理为即可求解.

【详解】

因为函数在处的导数为，

所以，

所以，

故选：B.

6．A

【分析】

先求出的值，再分别利用二次函数的性质和导数判断函数是否有极值，从而可得正确的选项.

【详解】

因为为偶函数，故，

故，故，

故，

所以，

在上，为减函数，在上，为增函数，

故为的极小值点，且极小值为，无极大值.

在上，，

此时在均为增函数，

故在上增函数，

而，故在上，总有，

故上，为增函数，故在上无极值.

故在上，为的极小值点，且极小值为，无极大值.

故选：A.

7．B

【分析】

由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得在不同区间内的正负，进而判断单调性，得到结果.

【详解】

时，单调递减；时，单调递增，

已知图象中在上单调递减，在上单调递增，且有两个零点和的是，

，

由图象可知：当时，；当时，；

当时，；当时，；

在上不单调，A错误；在上单调递减，B正确；在，上单调递增，CD错误.

故选：B.

8．D

【分析】

先研究出是偶函数，然后再结合的单调性，转化为解不等式的解集即可，再构造新函数，利用新函数的单调性和特殊值求出x的取值范围

【详解】

故为偶函数

且

当时，

恒成立，

所以恒成立，当时，单调递增，

而，

由可得：，即

令

所以单调递减，而

所以的解集为

故选：D

9．AD

【分析】

由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可.

【详解】

解：导函数的图象可知，

当﹣2<x<﹣1时， <0，则单调递减，

当x=﹣1时， =0，

当﹣1<x<2时， >0，则单调递增，

当x=2时，=0，

当2<x<4时，<0，则单调递减，

当x=4时，=0，

当x>4时，>0，则单调递增，

所以当x=﹣1时，取得极小值，故选项A正确；

在[﹣2，1]上是有减有增函数，故选项B错误；

当x=2时，取得极大值，故选项C错误；

在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故选项D正确.

故选：AD.

10．BC

【分析】

求出各象限中函数的导函数，结合基本初等函数的奇偶性判断可得出结论.

【详解】

对于A，为奇函数，其图象关于原点对称，A不符合题意；

对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，B符合题意；

对于C，为偶函数，其图象关于轴对称，C符合题意；

对于D，为非奇非偶函数，其图象不关于轴对称，D不符合题意.

故选：BC.

11．AB

【分析】

由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1，然后结合选项求导逐项分析即可.

【详解】

由题意，可知若函数具有“T性质”，则存在两点，

使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1.

对于A，，满足条件；

对于B，，满足条件；

对于C，恒成立，负数乘以负数不可能得到-1，不满足条件；

对于D，恒成立，正数乘以正数不可能得到-1，不满足条件.

故选：AB.

12．AD

【分析】

的定义域为，求判断单调性，求得极值可判断A，C；根据单调性以及可判断B、D，进而可得正确选项.

【详解】

由题意可得函数的定义域为，

由可得，

令，解得：

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递堿．

所以当时，函数取得极大值为，无极小值，

故选项A正确，选项C不正确；

因为，且在上单调递增，

所以函数在上有一个零点．

当时，，，所以，此时无零点．

综上所述：有一个零点，故B不正确；

因为，在上单调递增，所以，

故选项D正确．

故选：AD．

13．

【分析】

利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.

【详解】

，，又，

在处的切线方程为，即.

故答案为：.

14．

【分析】

求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值.

【详解】

解：，

当时，，

所以函数在上递增，

所以.

故答案为：.

15．

【分析】

利用导数求出函数的极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

因为，则.

当时，，当时，.

所以，函数存在唯一的极大值点.

由题意可得，解得.

故答案为：.

16．

【分析】

将不等式变形为：恒成立，构造函数，转化为当时，恒成立，为了求的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．

【详解】

对于任意的，，，且，都有成立，

不等式等价为恒成立，

令，则不等式等价为当时，恒成立，

即函数在上为增函数；

，

则在，上恒成立；

；即恒成立，

令，；

在，上为增函数；

（1）；

；

．

的取值范围是．

故答案：．

17．（1）；（2）或.

【分析】

（1）先求出，从而得切点坐标，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式即可求出切线方程；

（2）设与直线平行的切线的切点为，由导数的几何意义知，切线的斜率，从而求出切点坐标即可求解.

【详解】

解：（1）∵，∴，

求导可得，

∴切线的斜率为，

∴所求切线方程为，即.

（2）设与直线平行的切线的切点为，

则切线的斜率为，又所求切线与直线平行，

∴，解得，

代入可得切点为或，

∴所求切线方程为或，

即或.

18．（1）；（2）

【分析】

（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值，再与区间端点处函数值比较，即可得到函数的最大值；

（2）求出函数的导函数可得，即可得到函数的极值点，再对分类讨论，即可得到不等式，解得即可；

【详解】

解：（1）当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值为，当时，所以函数在区间上的最大值为；

（2）由，所以，

当时所以函数在定义域上单调递增，则只有一个零点，故舍去；

所以，令得或，

函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，函数的极值点为，，

当时，令得或，所以函数在和上单调递增，

令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，解得；

当时，令得或，所以函数在和上单调递增，

令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极小值，所以的图象与轴不可能有三个交点；

综上可得，即

19．（1）条件性选择见解析，；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为．

【分析】

（1）选①，求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得函数在处得到函数值为0，即可得出答案；

选②，根据函数的图象在处的切线方程为，即函数在处得导数值为3，即可的解；

（2）由（1）得，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案.

【详解】

解：（1）选①．

由题意知，，

依题意得，，

即，经检验符合题意．

选②．

由题意知，，

因为函数的图象在处的切线方程为，

所以，得．

（2）由（1）得，

，

令得，或，

列表：

所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．

20．（1）答案见解析；（2）.

【分析】

（1）若选择①，求出导函数，利用导数判断函数的单调性即可求解.

（2）令，可得，同除可得 ，令，转化为有解，设，然后利用导数研究函数的零点即可.

【详解】

解：（1）若选择①，则，则，

令，，由单调递增，且，

所以在上单调递增，

即，则在上单调递增，不存在极小值点

若选择②，，则，

令，.

由单调递增，且，

在上单调递减，上单调递增，

，而，所以存在，使得在上单调递减，上单调递增，

所以存在极小值点

（2）令，有，又，

所以，

令，即转化为有解，

设，则由可得，在单调递减，

在单调递增，而，所以由唯一零点.

若在区间存在零点，即为在有解.

整理得：，

设，由知，在单调递减，

在单调递增，

又时，.则，所以，得：.

21．

（1）

（2）证明见解析

【分析】

(1)结合已知条件，利用即可求解；(2)对求导可得，再通过对求导以确定在的符号，从而可得到的单调性，然后利用的单调性即可求解.

（1）

由题意，，

因为是函数的一个极值点，

所以，解得.

又因为，所以.

（2）

证明：由(1)可知的定义域为，

则，

令，则，

当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

从而对于，，

所以当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增.

故对于，.

22．

（1）

（2）

【分析】

（1）令，求出其导数后可判断函数的单调性，从而可求其值域，故可求实数的取值范围；

（2）求出，令，求出，利用题设条件可得，从而可得在存在唯一的零点且可得的符号情况，从而可得的单调性，故可得其最小值，再利用导数可求其取值范围.

（1）

由得，令，

则，所以在上单调递减，

，从而.

（2）

令，

因为，故，

所以在上单调递增，又，，

所以存在唯一实数，使得，

且当时，，当时，，

故在上单减，在上单增，从而的最小值，∵，

∴，故.

令，则，

所以在上单减，

由题意可得，所以，

 令，则，

所以在上单减，故的取值范围为.

【点睛】

思路点睛：含参数的零点问题，可利用参变分离把参数的范围问题转化为不含参数的新函数的值域问题，在函数的单调性的讨论中，如果导函数的零点不易求得，可虚设零点来简化问题的讨论.