2023新教材高中数学第4章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式教师用书新人教A版选择性必修第二册

4.3.2　等比数列的前n项和公式

第1课时　等比数列的前n项和公式

知识点1　等比数列的前n项和公式

如何选择使用两个求和公式？

[提示]　已知首项a1和公比q(q≠1)，项数n，可以使用Sn＝，已知首尾两项a1，an和q(q≠1)，

可以使用Sn＝．

1．若等比数列{an}中，a1＝1，S3＝3，求公比q．

[解]　若q＝1时，S3＝3a1＝3符合．

若q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3．

解得q＝－2．

故公比q的值为1或－2．

知识点2　错位相减法

推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．

2．已知数列{an}的通项公式为an＝n·2n，则其前n项和Sn＝________．

(n－1)·2n＋1＋2　[由an＝n·2n，得Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①

2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，②

①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1

＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2．]

类型1　等比数列基本量的运算

【例1】　在等比数列{an}中，

(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；

(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；

(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q．

[解]　(1)由题意知

解得或

从而Sn＝×5n＋1－

或Sn＝．

(2)法一　由题意知

解得从而S5＝＝．

法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，

得q3＝，从而q＝．

又因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，

所以a1＝8，从而S5＝＝．

(3)因为a2an－1＝a1an＝128，

所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．

从而或

又因为Sn＝＝126，所以q＝2或q＝．

1．“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．

2．“值得注意”：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

1．(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，S6＝，则a2·a4＝(　　)

A．4 B．8

C．16 D．32

(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)

A．11 B．5

C．－8 D．－11

(1)A　(2)D　[(1)因为S3＝，S6＝，即S6≠2S3，所以q≠1，所以两式相除可得＝，所以q3＝8，即q＝2，a1＝，则a2·a4＝aq4＝×24＝4．故选A．

(2)在等比数列{an}中，设首项为a1，公比为q．由已知得q＝1不成立，因此q≠1．由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，即a1q·(8＋q3)＝0，由等比数列的性质知q＝－2，所以＝＝＝－11，故选D．]

类型2　错位相减法

【例2】　设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Sn．

(1)可用基本运算，解方程组的方法求an和bn．

(2)尝试用错位相减法求和．

[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q>0．

由题意，得解得

故an＝2＋2＝2n，bn＝2·2n－1＝2n．

(2)令cn＝anbn＝n·2n，

所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，

2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，

两式相减得－Sn＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，

所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2．

错位相减法的适用条件及注意事项

(1)适用条件：若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法．

(2)注意事项：若公比为字母，则需对其进行分类讨论．

2．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn－1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．

[解]　(1)∵an＝Sn＝n2＋n，

∴an＝当n＝1时也满足an＝2n，

∴数列{an}的通项公式为an＝2n．

(2)由(1)及题意，得cn＝2nxn－1，

∴Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn－1，　①

则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn．　②

由①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn－1－2nxn．

当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn，

∴Tn＝；

当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．

类型3　等比数列前n项和公式的实际应用

【例3】　小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款……购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少？

列出第k个月末付款后的欠款本利或第k个月时的已付款及利息，尝试用等比数列前n项和解决．

[解]　法一　设小华每期付款x元，第k(k取2,4,6,8,10,12)个月末付款后的欠款本利为Ak元，则

A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，

A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，

…

A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，

解得x＝

＝≈880.8．

故小华每期付款金额约为880.8元．

法二　设小华每期付款x元，到第k(k取2,4,6,8,10,12)个月时已付款及利息为Ak元，则

A2＝x，

A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)，

A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)，

…

A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．

∵年底付清欠款，∴A12＝5 000×1.00812，

即5 000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，

∴x＝≈880.8．

故小华每期付款金额约为880.8元．

分期付款问题的求解策略

分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同．解决这类问题通常有两种处理方法，一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解．

3．某人在年初用16万元购买了一辆车，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？

[解]　余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16．

设每年年底应支付款为a元，支付6次的本利和应是a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋…＋a(1＋0.1)5

＝a·＝10a(1.16－1)．

由105×1.16＝10a(1.16－1)得

a＝≈22 961(元)．

∴每年年底应支付22 961元．

1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)

A．93 B．－93

C．45 D．－45

A　[S5＝＝＝93．]

2．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，a1＝5，S5＝55，则公比q等于(　　)

A．4 B．2

C．－2 D．－2或4

C　[∵a1＝5，S5＝55≠5×5，∴S5＝＝55，

∴1－q5＝11(1－q)，解得q＝－2．]

3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)

A．(2n－1)2 B．(2n－1)

C．4n－1 D．(4n－1)

D　[∵Sn＝2n－1，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝21－1＝21－1，故an＝2n－1，a＝4n－1．∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．]

4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q的值为(　　)

A．－ B．1

C．－或1  　 D．或1

C　[由题设知：S3＝a1＋a2＋a3＝15，又a3＝5，故a1＋a2＝10，∴a1(1＋q)＝10，而a1q2＝5，即1＋q＝2q2，解得q＝－或q＝1．]

5．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%． 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？________(填“能”或“不能”)

不能　[用an表示热气球在第n分钟上升的高度，

由题意，得an＋1＝an，

因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．

热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125．

故这个热气球上升的高度不可能超过125 m．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)如何使用等比数列前n项和公式求和？

[提示]　①等比数列{an}前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．

②q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn－1可以实现它们之间的相互转化．

当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便；

当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便．

(2)等比数列前n项和公式是如何推导的？

[提示]　一般地，等比数列{an}的前n项和可写为Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

用公比q乘①的两边，可得

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②

由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，

整理得Sn＝(q≠1)．

(3)错位相减法的适用情形及注意事项分别是什么？

[提示]　①适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．

②注意事项：

(i)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．

(ii)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．

神奇的斐波那契数列与黄金分割

“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨)．1202年，他撰写了《珠算原理》一书．他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人．他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学．他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学．

一、斐波那契数列及其特点

斐波那契数列通项公式：斐波那契数列指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…菲波纳契数列既谓神奇数字，上述数字自有神奇之处，其特点包括：

1．从第三项起，任何一个数字均是其前两个数字的和数，例如1＋1＝2；1＋2＝3；2＋3＝5；3＋5＝8；5＋8＝13；8＋13＝21；13＋21＝34等．

2．任何两个相隔的数字彼此顺序相除或倒转相除，所得数字分别接近0.382及2.618．

接近0.382比率，例如：8÷21≈0.381；13÷34≈0.382；21÷55≈0.382等．

接近2.618比率，例如：21÷8＝2.625；34÷13≈2.615；55÷21≈2.619等．

3．除首四个数字(1,1,2,3)外，两个相邻数字彼此相除，所得数字分别接近0.618及1.618比率．

接近0.618比率，例如：5÷8＝0.625；8÷13≈0.615；13÷21≈0.619等．

接近1.618比率，例如：8÷5＝1.6；13÷8＝1.625；21÷13≈1.615等．

二、斐波那契数列与黄金分割数值的密切联系以及在自然界的神奇应用

随着数列项数的增加，斐波那契数列前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618 033 988 7…(黄金分割是指把一线段分为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点．两个这样的点，约等于0.618∶1)

黄金分割与人类的演化和人体正常发育密切相关．人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”(物体短段与长段之比值为0.618)，12个“黄金矩形”(宽与长比值为0.618的长方形)和2个“黄金指数”(两物体间的比例关系为0.618)．例如肚脐是头顶—足底之分割点；咽喉是头顶—肚脐之分割点；膝关节是肚脐—足底之分割点；肘关节是肩关节—中指尖之分割点等等．神奇的0.618黄金分割律，与我们的生活息息相关，也是中老年人养生长寿的密码．最佳睡眠时间：从子时到午时共12小时，乘0.618，约为7.5小时．黄金分割是我们在生活中接触得比较多的数学美学问题，有了它生活的色彩就更显多彩：建筑师们早就懂得使用黄金分割比了．在公元前3000年建成的埃及法老胡夫的金字塔和公元前432年建成的雅典帕特农神庙就采用了这个神奇之比，因此它的整个结构以及它与外界的配合是那样的和谐美观．我们现在的窗户大小，一般都按黄金分割比制成．在艺术领域里更是神奇．众所周知的维纳斯女神像，她优美的身段可说是完美无缺，而她上下身的比正是黄金分割比．芭蕾舞演员顶起脚尖，正是为了使人体的上下身之比更符合黄金比．在1483年左右完成的“圣久劳姆”画，作画的外框长方形也符合这个出色的黄金分割比．像二胡，提琴这样的弦乐器，当乐师们把它们的码子放在黄金分割比的分点上时，乐器发出的声音是最动人美丽的．