高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用当堂检测题

专题5.3导数在研究函数中的应用检测题（基础巩固篇）

一、单选题

1．函数的单调递减区间是（    ）

A． B．

C． D．

2．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（    ）

A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞)  C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)

3．已知定义在上的函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．有极小值 B．有最大值

C．是奇函数 D．是偶函数

4．连续函数在上（    ）

A．极大值一定比极小值大

B．极大值一定是最大值

C．最大值一定是极大值

D．最大值一定大于极小值

5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

6．函数f(x)＝(a2＋1)x＋b在R上（    ）

A．单调递增 B．单调递减

C．有增有减 D．单调性与a、b有关

7．已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知是定义在R上的函数，是的导函数，满足：，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列函数在定义域内是增函数的有（    ）

A． B．

C． D．

10．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ）

A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数

C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点

11．若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（      ）

A． B．

C． D．

12．定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．若函数在处有极小值，则实数_______________________．

14．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________.

15．函数y＝在[0，2]上的最大值为________.

16．已知，且，则的最大值为_______．

四、解答题

17．求下列函数的单调区间．

（1）；

（2）．

18．设函数其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线斜率；

（2）求函数的单调区间．

19．已知函数在处有极值2．

（1）求，的值；

（2）求函数在区间上的最值．

20．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的极大值.

21．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.

（1）求函数f(x)＝x＋在上的值域；

（2）若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.

22．已知函数.

（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.

（2）若的单调递减区间为，求a的值.

参考答案

1．D

【分析】

根据导数的性质，结合函数的定义域进行求解即可.

【详解】

函数的定义域为：，

，

当时，函数单调递减，因为，所以解得，

故选：D

2．C

【分析】

求导得，再解不等式即得解.

【详解】

由得，

根据题意得，解得．

故选：C

3．A

【分析】

依据图象直接依次进行判断即可.

【详解】

由图可知：有极小值，无最大值，且的定义域为，，

所以该函数不是奇函数，同时函数图象不关于轴对称，故不为偶函数，

所以答案为A

故选：A

4．D

【详解】

由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.

5．D

【分析】

由图可知f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以可得x＞0和x＞0时，导函数均为负，从而可得答案

【详解】

∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，

∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.

故选：D

6．A

【分析】

对函数求导后，利用导数的正负进行判断函数的单调性即可

【详解】

因为 f′(x)＝a2＋1>0，所以f(x)在R上单调递增．

故选：A

7．B

【分析】

求出导函数，将问题转化为在上恒成立，进而得出，分析不具有单调性，从而可得.

【详解】

由题意，得，又在上恒成立，所以.

而当时，恒为0，此时（），不具有单调性，

所以，即实数a的取值范围为.

故选：B

8．D

【分析】

构造函数，利用导数求得的单调性，由此求得不等式的解集.

【详解】

令，则，

所以在R上单调递增，不等式可化为，

而，则，即，

所以，即不等式解集为.

故选：D

9．ACD

【分析】

根据幂函数的性质，可对选项做出判断；对分段函数的两段分别判断单调性，可对选项做出判断；根据增函数减减函数，可得是增函数；

【详解】

因为所以单调递增，又因为为奇函数，所以在上单调递增，故选项正确；

当时，，在单调递增，当时，在 单调递增，但 ，所以在上不是单调递增函数，故选项不正确.

在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故选项正确.

恒成立，所以在单调递增，故选项正确；

故选：ACD

【点睛】

本题主要考查了由函数的性质，或利用导数判断函数的单调性，属于基础题.

10．AC

【分析】

根据图象判断出的单调区间、极值（点）.

【详解】

由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.

所以A选项正确，B选项错误.

在区间上，有极大值为，C选项正确.

在区间上，是的极小值点，D选项错误.

故选：AC

11．AC

【分析】

先求函数的定义域及导数，求出单调区间，结合所给区间列出关于的不等关系，结合选项可求正确答案.

【详解】

定义域为，；

由得函数的增区间为；

由得函数的减区间为；

因为在区间上单调，

所以或

解得或；

结合选项可得A,C正确.

故选：AC.

12．CD

【分析】

构造函数，结合已知条件判断的单调性，由此确定正确答案.

【详解】

依题意，

由，得.

构造函数，

，

所以在上递减.

，，

，

所以，.

故选：CD

13．9

【分析】

求导得到，解方程，即得解.

【详解】

因为，所以，

由，得．

当时，，

所以函数在单调递增，在单调递减.

函数在处有极小值，满足题意.

故答案为：9

14．(1，2)

【分析】

求出导函数，令f′(x)＜0，解不等式即可求解.

【详解】

f′(x)＝6x2－18x＋12，

令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.

故答案为：(1，2)

15．

【分析】

先对函数求导，求出函数的极值，再求出函数端点处的函数值，从而比较可得函数的最大值

【详解】

∵y′＝＝，

令y′＝0，得x＝1∈[0，2].

∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝.

∴f(x)max＝f(1)＝.

故答案为：

16．##

【分析】

利用对数的运算解方程，得关系，代入，然后构造函数，利用导数求最值.

【详解】

解：，即，即，

解得或，即或（舍，），

将代入得，

设，

则，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，即时，函数取最大值

.

故答案为：.

17．（1）函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；（2）单调递增区间为（），单调递减区间（）.

【分析】

（1）求出，解不等式和即得解；

（2），解不等式和即得解.

【详解】

（1）由题得函数的定义域为.

，

令，即，解得；

令，即，解得或，

故所求函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．

（2）由题得函数的定义域为.

令，得，即（），

令，得，即（），

故的单调递增区间为（），单调递减区间（）．

18．（1）1；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由题设得，求出即可知切线斜率；

（2）由题意，讨论的符号，即可求单调区间．

【详解】

（1）由题设，，则，

∴，故点处的切线斜率为1.

（2）由题设，，又，

∴，且，

当时，，单调递增；

当时，或，单调递减；

∴在上递增，在、上递减.

19．（1），；（2）最小值是-2，最大值是2．

【分析】

（1）由题意知，，求的导函数，代入计算可得的值，注意检验；（2）在上的单调区间，从而确定最小值，计算端点值比较可求出最大值.

【详解】

解：（1），

∵函数在处取得极值2，

∴，解得，

，经验证在处取极值2，故，

（2）由，令，解得

令，解得或，

因此，在递减，在递增，的最小值是

而，故函数的最大值是2．

20．（1）增区间为，减区间为；（2）.

【分析】

（1）求函数的导函数，求和的解，从而求出函数的单调区间；（2）由函数的单调性，确定函数的极大值点，代入求出极大值.

【详解】

解：（1）因为，所以，

令，则或，令，则

所以的单调增区间为，减区间为；

（2）由（1）可知：时，有极大值为.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；

（2）把条件转化为，分别求解的最小值可得实数a的范围.

【详解】

（1），

因为，所以，即函数为减函数，

因为，所以值域为.

（2）因为∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，

所以，

因为，所以，

所以，即.

22．（1）；（2）3.

【分析】

（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；

（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案

【详解】

（1）因为，且在区间上为增函数，

所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，

所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是

（2）由题意知.因为，所以.

由，得，

所以的单调递减区间为，

又已知的单调递减区间为，

所以，

所以，即.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.