人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试教案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试教案设计，共20页。教案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，思路点拨，总结升华等内容，欢迎下载使用。

《导数及其应用》全章复习与巩固
【学习目标】
1. 导数概念
通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义.
2. 导数运算
（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；
（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；
（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数.
3. 体会研究函数的意义
（1）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；
（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；
（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.
4.导数在实际问题中的应用
（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；
（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；
（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决.
【知识网络】

【要点梳理】
要点一：导数的概念及几何意义
导数的概念：
函数在点的导数，通常用符号表示，定义为：





要点诠释：
（1），它表示当自变量从变，函数值从变到时，函数值关于的平均变化率.当趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的导数.
（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．
（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从时间到的平均变化率即为到这段时间的平均速度．
导数的几何意义：
表示曲线在处的切线的斜率，即
（为切线的倾斜角）


要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.
导数的物理意义：
在物理学中，如果物体运动的规律是，那么该物体在时刻的瞬时速度就是在时的导数，即；
如果物体运动的速度随时间变化的规律是，那么物体在时刻的瞬时加速度就是在时的导数，即．
要点诠释：表示函数在处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度对时间的变化率；瞬时电流是电量对时间的变化率；瞬时功率是功对时间的变化率；瞬时电动势是磁通量对时间的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度．
要点二：导数的计算
基本初等函数的导数
基本初等函数
导数
特别地
常数函数

，
幂函数

，
指数函数


对数函数


正弦函数



余弦函数

要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
和、差、积、商的导数

要点诠释：
（1）一个推广：．
（2）两个特例：（c为常数）；．
复合函数的导数
设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作．
要点三：导数在研究函数性质中的应用
利用导数研究可导函数的单调性
设函数在区间（，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（，b）内为常数函数.
要点诠释：
（1）在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件.
（2）只有当在某区间上有有限个点使时，（或）º在该区间内是单调递增（或减）.
利用导数研究可导函数的极值
求函数在其定义域内极值的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点诠释：
①注意极值与极值点的区别：取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。
③可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=3，在=0处，，但=0不是函数的极值点.
利用函数研究可导函数的最值
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数在内的导数；
②求方程在内的根；
③求在内所有使的的点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.
②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
要点四：导数在解决实际问题中的应用
我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题. 在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决. 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式；
(2) 求函数的导数，解方程；
(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．
要点诠释：
①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案

②得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围；
③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
【典型例题】
类型一：导数的概念与公式的应用
例1. 求下列各函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【思路点拨】要求函数的导函数，应遵循一定的顺序：先观察：找出函数中的基本函数（或复合函数）；再确定函数的构成：它是由①中的基本函数（或复合函数）由哪种四则运算而成的；最后根据导数的四则运算法则写出导函数.是复合函数的，按照复合函数的求导法则计算.
【解析】
（1）观察函数结构：该函数是由二次函数与相乘得到的；
导数的乘法法则：；
求出各函数导数：.
（2）观察函数结构：该函数是由复合函数与一次函数相除得到的；
导数的除法法则：；
求出各函数导数：.
（3）该函数是由函数复合而成的，由复合函数求导法则，可得：
；
（4）该函数是由，和复合而成，由复合函数求导法则，可得：
.
【总结升华】
（1）在导数的运算中，最复杂、最应引起重视的莫过于符合函数求导，因此应主要复合函数的求导方法。解这类问题的关键是正确分析函数的符合层次，一般由最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定符合过程.
（2）除了牢固掌握导数的相关公式外，记住两个常用的导数：①；②.
举一反三：
【变式1】函数的导数为（ ）
A.－2sin2+ B.2sin2+
C.－2sin2+ D.2sin2－
【答案】A
【变式2】函数的导数为 (　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
例2. 日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将水净化到纯净度为%时所需费用(单位：元)为，求净化到下列纯净度时，所需费用的瞬时变化率．
(1)90%； (2)98% .
【思路点拨】利用导数的概念作答。当净化度为%时，所需费用的瞬时变化率即为该点处的导数，即.
【解析】由导数的概念可知，
净化到90%纯度时，所需费用的瞬时变化率就是；净化到90%纯度时，所需费用的瞬时变化率就是.
∵，
∴，
.
故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为52.84元/t；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1 321元/t.
【总结升华】会用导数分析一些常见的生活、科学现象及术语，比如功率、降雨强度、边际成本等等，能利用导学解决一些实际问题中的变化趋势问题，进一步理解导数的概念。
举一反三：
【变式】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第 h时，原油的温度（单位：）为.计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
【答案】
第2 h的原油温度的瞬时变化率为，它表示第2 h附近，原油温度以3的速度下降；
第6 h的原油温度的瞬时变化率为，它表示第6 h附近，原油温度以5的速度上升.

类型二：导数的简单应用
例3.已知函数.
(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【解析】
(1) 时，，，
∴，，
所求切线方程为，即.
(2)f ′()＝－32＋6＋9.
f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f(2)>f(－2)．
∵在(－1,3)上f′()>0，
∴在(－1,2]上单调递增．
又由于在[－2，－1)上单调递减，
∴f(－1)是的极小值，且f(－1)＝a－5.
∴f(2)和f(－1)分别是在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.
∴＝－3＋32＋9－2.
∴f(－1)＝a－5＝－7，
即函数在区间[－2,2]上的最小值为－7.
【总结升华】（1）掌握求函数的切点方程的方法和步骤，此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.
（2）掌握求函数最值的方法和步骤，解此类问题的关键是，将连续区间上的最值问题转化为有限个数值的大小比较问题.
举一反三：
【变式1】函数的图像在点)处的切线与直线平行．
(1)求，；
(2)求函数在内的最大值和最小值．
【答案】(1)，由已知条件

(2)由(1)知，则．
与随变化情况如下：

(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)

＋
0
－
0
＋

↗
2
↘
－2
↗
由，解得＝0，或＝3.
因此根据图像，
当0<≤2时，的最大值为，最小值为；
当2<≤3时，的最大值为，最小值为；
当>3时，的最大值为，最小值为.
【变式2】设函数，曲线过，且在点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：.
【答案】
（1），

(2)证明：恒成立º恒成立º恒成立.
设，

当0<<1时，，当>1时，.
所以在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
∴，
∴，即≤2－2.
例4. 设函数在处取得极值.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的单调区间.
【思路点拨】先根据极值的意义，确定参数的值，再解不等式（或），得到的单调增（或减）区间.
【解析】（Ⅰ）,由已知得
解得，.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，
当或时，，当时，.
因此的单调增区间是，，单调减区间是.
【总结升华】灵活掌握求函数单调区间、极值（最值）的方法和步骤.
举一反三：
【变式1】如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数在区间内单调递增；
②函数在区间内单调递减；
③函数在区间(4,5)内单调递增；
④当＝2时，函数有极小值；
⑤当时，函数有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号)
【答案】③
由导函数的图象可以得到原函数的草图：

故只有③正确.
【变式2】已知函数(>0)在 = 1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数.
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数的单调区间并求极值；
【答案】
（1） 由题意知，因此，从而．
又对求导得
．
由题意，因此，解得．
（2）由（1）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
所以有极小值.
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为,当时，取极小值.
类型三：分类讨论思想在导数中的应用
【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3（Ⅱ）】
例5.已知函数= (≥0)，求的单调区间.
【思路点拨】先求导，再根据的首项系数与两根大小进行分类讨论，注意函数的定义域.
【解析】，.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，.
当时， ，
此时在区间和上，；在区间上，，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故得单调递增区间是，无减区间.
当时，，
此时，在区间和上，；在区间上，，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
综上所述，当时，得单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，得单调递增区间是，无减区间；
当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.
【总结升华】（1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0；
（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力；
（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了.
举一反三：
【变式1】设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值.
【解析】
（Ⅰ）当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：












因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
（2）若，当变化时，的正负如下表：












因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
注意：1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图象法.2. 列表能比较清楚的看清极值点.3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚.
【变式2】已知函数 (为常数).
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在上的最值.
【解析】（Ⅰ）当时，函数=，函数的定义域为
由得，∴函数的单调增区间为；
由得，∴函数的单调减区间为；
（Ⅱ）∵,
①若，则对任意的都有，∴函数在上为减函数，
∴在上有最大值，没有最小值，；
②若，令得，
当时，，∴当时，函数在上为减函数，当时，函数在上为增函数；
∴时，函数有最小值，，
当时，，在恒有，∴函数在上为增函数，在有最小值，；
类型四： 转化与化归思想在导数中的应用
例6. 若函数在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
【思路点拨】将问题转化为：恒成立，再转化为求函数的最值问题。
【解析】

【总结升华】转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将含参不等式的恒成立问题转化为求函数最值的问题．
举一反三：
【变式1】已知函数.若对于都有成立，试求的取值范围.
【解析】对于，不等式成立º， ①
下面求在，的最小值：
，
由解得；由解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，函数取得最小值，.
因为对于都有成立，
所以即可.
则. 由解得.
所以的取值范围是.
【变式2】已知函数．
证明：对任意，都有成立．
【解析】要证明对任意，都有，
即证明，. 下面进行证明：
易知在时取得最小值，
又，
可知．
由，可得．
所以当单调递增，
当单调递减.
所以函数在时取得最大值，
又，
可知，
所以对任意，都有成立．
类型五：数形结合思想在导数中的应用
例7.求函数的极值，并说明关于的方程何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a>0)？
【解析】函数的定义域为R，其导函数为
由可得，列表讨论如下：

(－∞，－)
－
(－，)

(，＋∞)
f′()
＋
0
－
0
＋

↗
极大值
↘
极小值
↗
由此可得，函数在＝－处取得极大值；
在＝处取得极小值.
根据列表讨论，可作函数的草图(如图)：

因为极大值>0，
故当极小值<0，即a>1时，方程有三个不同的实根；
当极小值>0，即0 【总结升华】通过学习利用导数研究函数的极值与最值，结合以前所掌握的研究函数的奇偶性与单调性的方法，给定一个函数，其图象的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前．一些数学问题便能顺利解决．
方程根的个数或者说函数零点的个数问题即是数形结合思想在导数中的一个具体的应用．
举一反三：
【变式1】设函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若关于的方程有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
【解析】

【变式2】已知且的图象如图所示，若，则有(　　)
A．a>0，b>0
B．a<0，b<0
C．a<0，b>0
D．a>0，b<0
【答案】B
由的图象易知有两个极值点，且时有极小值，因此的图象如图所示，

因此a<0.
又，∴，
∴，即，∴b<0.
类型六：导数的实际应用
例8. 某商场预计2010年从1月份起前个月，顾客对某种商品的需求总量p()件与月份的近似关系是p()＝(＋1)(39－2)(∈N*，且≤12)．
该商品的进价q()元与月份的近似关系是q()＝150＋2(∈N*，且≤12)，
(1)写出今年第月的需求量f()件与月份的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
【解析】(1)当＝1时，f(1)＝p(1)＝37；
当2≤≤12时，
f()＝p()－p(－1)
＝(＋1)(39－2)－(－1)·(41－2)
＝－32＋40(∈N*，且2≤≤12)．
验证＝1符合f()＝－32＋40，
∴f()＝－32＋40(∈N*，且1≤≤12)．
(2)该商场预计销售该商品的月利润为
g()＝(－32＋40)(185－150－2)
＝63－1852＋1 400(∈N*,1≤≤12)，
g′()＝182－370＋1 400，
令g′()＝0，解得＝5，＝ (舍去)．
当1≤<5时，g′()>0；
当5<≤12时，g′()<0，
∴当＝5时，
g()ma＝g(5)＝3 125(元)．
综上5月份的月利润最大是3 125元．
【总结升华】 生活中的优化问题，大多可以建立目标函数.本题的目标函数为高次多项式函数，采用导数法可解. 同时要格外注意实际意义对定义域的影响.
举一反三：
【变式】一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
【解析】