高中数学5.2 导数的运算课后测评

专题5.2导数的运算检测题（综合提升篇）

一、单选题

1．函数f(x)＝，则f′（3）等于（    ）

A． B．0 C． D．

2．函数y＝ (a＞0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝（    ）

A．a B．±a C．－a D．a2

3．已知函数的最大值为，则（    ）

A． B． C． D．

4．函数的图像在点处的切线方程为（ ）

A． B． C． D．

5．已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．设，，，…，，，则（    ）

A． B．

C． D．

7．已知，为的导函数，则的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

8．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

二、多选题

9．下列导数运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．（多选）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”，则下列函数在区间上“中值点”多于一个的函数是（    ）

A． B．

C． D．

11．函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（    ）

A． B．

C． D．

12．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系，其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0．5ppm为正常，人就可以安全进入车库了，则（    ）

A．

B．

C．排气12分钟后，人可以安全进入车库

D．排气32分钟后，人可以安全进入车库

三、填空题

13．函数，其导函数为，则________________

14．函数的导函数为，且，的值为____________.

15．已知函数在上可导，函数，则______．

16．已知（，），其导函数为，设，则_____________.

四、解答题

17．求下列函数的导数.

（1）；                  

（2）.

18．已知函数

（Ⅰ）求这个函数的导数；

（Ⅱ）求这个函数在处的切线方程.

19．某食品厂生产某种食品的总成本C（单位：元）和总收入R（单位：元）都是日产量x（单位：kg）的函数，分别为，，试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg，250kg，300kg时的边际利润，并说明其经济意义.（总利润y关于产量x的函数的导函数称为边际利润函数）

20．（1）设函数f（x）＝（3x2+x+1）（2x+3），求f′（x），f′（﹣1）；

（2）设函数f（x）＝x3﹣2x2+x+5，若f′（x0）＝0，求x0的值；

（3）设函数f（x）＝（2x﹣a）n，求f′（x）．

21．已知函数.

（1）若，求a的值；

（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.

22．已知是函数的导函数，对任意的，，且.

（1）若，求使成立的的取值范围；

（2）若，求函数的取值范围.

参考答案

1．A

【分析】

求出函数导数，即可求出结果.

【详解】

∵，∴.

故选：A.

2．B

【分析】

求导得y′＝，解方程－a2＝0即得解.

【详解】

y′＝′＝＝，

由－a2＝0，得x0＝±a.

故选：B

3．A

【分析】

由已知结合辅助角公式，易得并求出a值，进而求导函数，即可求.

【详解】

由题设，的最大值为，即，

由，可得，故，则，

∴.

故选：A.

4．B

【分析】

求导，计算，即得解

【详解】

，，，，

因此，所求切线的方程为，即．

故选：B

5．A

【分析】

求导根据导函数的奇偶性得到，再计算切线得到答案.

【详解】

依题意，，

由导函数为偶函数，得，

故，，

所以，，

故曲线在点处的切线方程为，即.

故选：A.

6．A

【分析】

根据正余弦函数的导函数，结合导数的运算法则易知，进而写出的解析式.

【详解】

，，

，，

，

由此可以看出满足对任意，.

∴，

故选：A.

7．A

【分析】

先求出的导函数，再由奇偶性以及特殊值即可得出答案.

【详解】

∵，

∴

易知是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B和D，

由，排除C，所以A正确.

故选：A.

8．B

【分析】

判定当时，的极限即为型，再利用给定法则计算即可得解.

【详解】

显然，当时，的极限即为型，

所以：.

故选：B

9．AC

【分析】

结合导数运算确定正确选项.

【详解】

A，，A正确，

B，，B错误，

C，，C正确，

D，，D错误.

故选：AC．

10．AD

【分析】

通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可

【详解】

对于A，由得恒成立，所以A符合.

对于B，又，对于 唯一，所以B不符合.

对于C，，，又，对于 ，使得唯一，所以C不符合.

对于D，，，又，对于 使得不唯一所以D符合.

故选：AD.

11．BC

【分析】

根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出．

【详解】

由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足在定义域内恒成立．

对于A，，则在时恒成立，

不符合题意，故选项A错误；

对于B，，则恒成立，

符合题意，故选项B正确；

对于C，，则在时恒成立，

符合题意，故选项C正确；

对于D，，则在时恒成立，不符合题意，故选项D错误.

故选：BC.

12．BD

【分析】

由题意可设，再由已知列关于，的方程组，求出判断A与B；进一步求出的解析式，由求得的范围判断C与D．

【详解】

由题意可设，

则，此时为常数，

由，得，则，即，

，故A错误，B正确；

把代入，得，

又，

，

由，得．

至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态，

则C错误，D正确．

故选：BD

13．

【分析】

先求导，然后代入，进行求解

【详解】

因为，所以

故答案为：

14．0

【分析】

根据求导公式求出函数得导函数，即可得出答案.

【详解】

解：由，

得

，

所以，所以.

故答案为：0.

15．0

【分析】

利用复合函数的求导法则，可得，代入即得解

【详解】

∵，

∴，

∴．

故答案为：0

16．

【分析】

利用导数的运算法则求，即可得f′(-2)，进而写出an的通项公式，即可求.

【详解】

由题设，f′(x)= (x+2)(x+3)…(x+n)+(x+1)(x+3)…(x+n)+…+(x+1)(x+2)…(x+n-1)，

∴f′(-2)=0+(-1)×1×…×(n-2)+0+…+0=-(n-2)!，f(0)=n!；

∴an=，则a10．

故答案为:．

17．（1）；（2）.

【分析】

利用导数的四则运算和复合函数的求导法则求导.

【详解】

（1）

.

（2） .

【点睛】

一般地，函数的商的导数公式是，注意求导后分子的结构特点（求导次序与中间的符号）.而函数的导数则是，注意系数是来自.

18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）由导数的运算法则直接计算即可得出结果；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果求出，再求出切点坐标，进而可得出结果.

【详解】

（Ⅰ）因为，所以；

（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1，

所以切线的斜率是，

又，所以切线方程为，整理得.

【点睛】

本题主要考查导数的运算以及导数的几何意义，熟记运算法则和几何意义即可，属于基础题型.

19．答案见解析.

【分析】

由已知可得并求导，进而分别求出日产量分别为200kg，250kg，300kg时的边际利润，说明经济意义即可.

【详解】

根据定义，知：总利润函数，

∴边际利润函数为.

（元），

（元），

（元），

其经济意义是：当日产量为200kg时，再增加1kg，则总利润可增加1元；当日产量为250kg时，再增加1kg，则总利润无增加；当日产量为300kg时，再增加1kg，则总利润反而减少1元.

由此可得，当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，会使企业“无利可图”.

20．（1）f′（x）＝18x2+22x+5，f′（﹣1）＝1；（2）x0＝1或；（3）f′（x）＝2n（2x﹣a）n-1.

【分析】

（1）先展开函数解析式，用和的导数法则和幂函数的导数公式求导函数，再代入﹣1求函数值．

（2）用和的导数法则和幂函数的导数公式求导函数，代入得方程解二次方程求值．

（3）用复合函数的导数法则求导函数．

【详解】

（1）f（x）＝6x3+11x2+5x+3，

∴f′（x）＝18x2+22x+5，f′（﹣1）＝1；

（2）∵f（x）＝x3﹣2x2+x+5，

∴f′（x）＝3x2﹣4x+1

由f′（x0）＝0得：3x02﹣4x0+1＝0，解得：x0＝1或；

（3）.

21．（1）1；（2）证明见解析.

【分析】

（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；

（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.

【详解】

（1）因为，，

所以，解得.

（2）函数的定义域是，

，

所以，

当，时，，，

可得.

22．

（1）

（2）

【分析】

（1）分析可得，可设，可得出，求得的值，然后解不等式，即可得解；

（2）分析可得，令，求得，可得出，设，利用判别式法可求得的范围，即可得解.

（1）

解：由，得，即.

令，则，（为常数），

因为，则，所以，.

若，则，即，解得.

故实数的取值范围是；

（2）

解：由，得，即.

令，则，所以，（C为常数），

则，所以，，

又，，所以，，则，

所以，，令，可得.

当时，；

当时，，解得，此时或.

综上所述，的取值范围是.