人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀课时练习

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4．2．1 等差数列的概念
【题型归纳目录】
题型一：等差数列的判断
题型二：等差数列的通项公式及其应用
题型三：等差数列的证明
题型四：等差中项及应用
题型五：等差数列的实际应用
题型六：的应用
题型七：等差数列性质的应用
题型八：等差数列中对称设项法的应用
【知识点梳理】
知识点一、等差数列的定义
文字语言形式
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．
知识点诠释：
⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；
符号语言形式
对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．
知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关．
等差中项
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．
知识点诠释：
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．
②三个数，，成等差数列的充要条件是．
知识点二、等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，
推导过程：
（1）归纳法：
根据等差数列定义可得：，
所以，
，
，
……

当n=1时，上式也成立
所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）．
（2）叠加法：
根据等差数列定义，有：
，
，
，
…

把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，
所以．
（3）迭代法：

所以．
知识点诠释：
①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了．
②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．
等差数列通项公式的推广
已知等差数列中，第项为，公差为，则．
证明：因为，
所以
所以
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况．
知识点三、等差数列的性质
等差数列中，公差为，则
①若，且，则，
特别地，当时．
②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．
③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．
④仍是等差数列．
⑤数列（为非零常数）也是等差数列．
【方法技巧与总结】
等差数列中对称设项法的应用
1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；
2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；
3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．
【典型例题】
题型一：等差数列的判断
例1．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ）
A．数列，，，…，…为等差数列
B．数列，，，…，，…为等差数列
C．数列为等差数列
D．数列为等差数列

例2．（2022·全国·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（    ）．
A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，a D．，，，

例3．（2022·全国·高二课时练习）“a，b，c成等差数列”是“”的（    ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

变式1．（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；
②若，则数列是等差数列；
③若（b、c是常量），则数列是等差数列．
其中真命题有（    ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

变式2．（2022·全国·高二课时练习）若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（    ）
A．数列是公差为d的等差数列
B．数列是公差为cd的等差数列
C．数列是首项为c的等差数列
D．数列不是等差数列

【方法技巧与总结】
对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．
题型二：等差数列的通项公式及其应用
例4．（2022·全国·高二专题练习）有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（    ）
A．15 B．16 C．17 D．18

例5．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）若数列满足：，且，则________

例6．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________．

变式3．（2022·全国·高二课时练习）数列满足，且，则它的通项公式______．

变式4．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，，，则的通项公式______．

变式5．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知数列中，，，则________．

变式6．（2022·陕西省洛南中学高二期中（文））在等差数列中，，，则数列的公差______.

变式7．（2022·江苏盐城·高二期中）已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________.

【方法技巧与总结】
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
（3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数．
题型三：等差数列的证明
例7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断数列是否为等差数列？并证明你的结论．




例8．（2022·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；




例9．（2022·福建·三明一中高二期中）（1）已知在递增的等差数列中，.求的通项公式；
（2）已知数列中，.证明：数列是等差数列.




变式8．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，且．
(1)求，；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列的通项公式．




【方法技巧与总结】
证明等差数列的方法
（1）定义法
或数列是等差数列．
（2）等差中项法
数列为等差数列．
（3）通项公式法
数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列．
题型四：等差中项及应用
例10．（2022·海南省洋浦中学高二期中）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.

例11．（2022·全国·高二课时练习）若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是______．

例12．（2022·全国·高二课时练习）与的等差中项是______．

变式9．（2022·上海·高二专题练习）若b是2，8的等差中项，则______；

变式10．（2022·甘肃·秦安县第一中学高二期中）已知A为a+5和a+11的等差中项，则A=___________.

变式11．（2022·全国·高二课时练习）已知，，则a、b的等差中项是________.

【方法技巧与总结】
若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．
题型五：等差数列的实际应用
例13．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高二期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项.

例14．（2022·浙江·杭州市余杭中学高二期中）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（    ）
A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺 D．12.5 尺

例15．（2022·北京丰台·高二期中）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

变式12．（2022·全国·高二专题练习）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（    ）
A．505 B．404 C．303 D．202

变式13．（2022·全国·高二课时练习）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ）
A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元

【方法技巧与总结】
（1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
（2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．
题型六：的应用
例16．（2022·全国·高二单元测试）（1）在等差数列中，已知，，求首项与公差d；
（2）已知数列为等差数列，，，求.




例17．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，已知求及.




例18．（2022·全国·高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为.
（1）若，，求的值；
（2）若，，求公差.




变式14．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中：
(1)已知，求首项与公差d；
(2)已知，求．




【方法技巧与总结】
灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令，即变为，可以减少记忆负担．
题型七：等差数列性质的应用
例19．（2022·上海·高二专题练习）等差数列中，，，则＝__.

例20．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．

例21．（2022·全国·高二课时练习）是等差数列，且，则______．

变式15．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．

变式16．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）在等差数列中，，，，则该数列公差______．

【方法技巧与总结】
等差数列运算的两种常用思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量．
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则．
题型八：等差数列中对称设项法的应用
例22．（2022·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数.
（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.




例23．（2022·全国·高二专题练习）已知四个数成等差数列，中间两项之和为2，首末两项之积为，求这四个数.




例24．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习）四个数成递增等差数列，四个数之和等于，中间两个数之积为，求这四个数.




变式17．（2022·全国·高二课时练习）（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；
（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．




【方法技巧与总结】
等差数列中对称设项法的应用
1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；
2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；
3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．
【同步练习】

一、单选题
1．（2022·陕西西安·高二期中）在等差数列中，，，公差，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·鹤壁高中高二阶段练习）设数列都是等差数列，，则（    ）
A．4034 B．4036 C．4038 D．4040
3．（2022·河南安阳·高二期中）已知等差数列中，，，则的公差为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·广东·深圳中学高二期中）在递增的等差数列中，己知与是方程的两个根，则（    ）
A．19 B．20 C．21 D．22
5．（2022·福建龙岩·高二期中）甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道．已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是（    ）
窗口

1
2
过道

3
4
5
窗口

6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
…
…
…
…
…
A．21，28 B．22，29 C．23，39 D．24，40
6．（2022·福建漳州·高二期中）已知等差数列中，是函数的两个零点，则=（    ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在等差数列中，记，则数列（    ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
8．（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高二期中）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（    ）

A．20180 B．20200 C．20220 D．20240
二、多选题
9．（2022·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（    ）
A．公差d的取值范围是 B．
C． D．的最小值为1
10．（2022·浙江·测试·编辑教研五高二期中）已知数列的通项公式为，则（    ）
A． B．是该数列中的项
C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列
11．（2022·全国·高二课时练习）（多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（    ）
A． B．
C． D．中的第506项是中的第2022项
12．（2022·山东青岛·高二期中）已知数列满足：，，，3，4，…，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．对任意，恒成立
C．不存在正整数，，使，，成等差数列
D．数列为等差数列
三、填空题
13．（2022·上海·高二期中）已知等差数列的前三项分别为，则这个数列的通项公式为__
14．（2022·陕西延安·高二期中（理））在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为________.
15．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是______．
16．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为______（用具体数字作答）.

四、解答题
17．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)求.




18．（2022·上海·高二期中）已知等差数列中，且，为方程的两个实根．
(1)求此数列的通项公式；
(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．




19．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知等差数列中．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．




20．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)判断96是不是数列中的项？




21．（2022·陕西省洛南中学高二期中（文））在数列中，，点在直线上，，数列的前项和.
(1)求；
(2)是否存在整数（），使得不等式恒成立？若存在，求出的取值所构成的集合；若不存在，请说明理由.